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北海道大学 1990年文系第1問解説

方針・初手

行列による1次変換の性質を利用します。 (1)は、求める直線の方程式を $ax+by+c=0$ とおき、この直線上の点が1次変換 $f$ によって移された先も同じ方程式を満たすという条件から、係数 $a, b, c$ の関係を導きます。 (2)は、変換の合成を考えます。円上の点が移る軌跡を求めるため、合成変換の逆行列を求めて元の円の方程式に代入する代数的なアプローチが確実です。

解法1

(1) 行列 $A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 5 \end{pmatrix}$ とする。 $A$ の行列式は $|A| = \frac{1}{4} (15 - 3) = 3 \neq 0$ であるため、$A$ は逆行列をもつ。

$$ A^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} $$

求める直線の方程式を $ax+by+c=0$（$a, b$ は同時に $0$ ではない）とおく。直線上の点 $(x, y)$ が $A$ によって $(X, Y)$ に移るとすると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 5X + \sqrt{3}Y \\ \sqrt{3}X + 3Y \end{pmatrix} $$

これを $ax+by+c=0$ に代入して整理する。

$$ a \left( \frac{5X + \sqrt{3}Y}{6} \right) + b \left( \frac{\sqrt{3}X + 3Y}{6} \right) + c = 0 $$

$$ (5a + \sqrt{3}b)X + (\sqrt{3}a + 3b)Y + 6c = 0 $$

この直線が元の直線 $ax+by+c=0$ と一致するためには、ある実数 $k \neq 0$ が存在して、以下の関係式が成り立つ必要がある。

$$ \begin{cases} 5a + \sqrt{3}b = ka \\ \sqrt{3}a + 3b = kb \\ 6c = kc \end{cases} $$

第3式より、$(k - 6)c = 0$ である。したがって、$k = 6$ または $c = 0$ の場合分けが生じる。

(i) $k = 6$ のとき第1式および第2式に代入する。

$$ \begin{cases} 5a + \sqrt{3}b = 6a \iff -a + \sqrt{3}b = 0 \\ \sqrt{3}a + 3b = 6b \iff \sqrt{3}a - 3b = 0 \end{cases} $$

これらはともに $a = \sqrt{3}b$ を意味する。 $a, b$ は同時に $0$ ではないので、$b \neq 0$ である。$b = 1$ とおくと $a = \sqrt{3}$ となる。このとき、実数 $c$ の値は任意でよい。よって、直線の方程式は $\sqrt{3}x + y + c = 0$（$c$ は任意の実数）となる。

(ii) $c = 0$ のとき第1式および第2式を行列を用いて表す。

$$ \begin{pmatrix} 5 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $$

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より、この方程式が解をもつ条件は、係数行列の行列式が $0$ になることである。

$$ \begin{vmatrix} 5 - k & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 - k \end{vmatrix} = (5 - k)(3 - k) - 3 = k^2 - 8k + 12 = 0 $$

これを解くと $k = 2, 6$ となる。 $k = 6$ のときは (i) の $c=0$ の場合に含まれるため、$k = 2$ のときを調べる。

$$ \begin{cases} 5a + \sqrt{3}b = 2a \iff 3a + \sqrt{3}b = 0 \\ \sqrt{3}a + 3b = 2b \iff \sqrt{3}a + b = 0 \end{cases} $$

これらはともに $b = -\sqrt{3}a$ を意味する。 $a = 1$ とおくと $b = -\sqrt{3}$ となる。直線は原点を通るため $c=0$ であり、方程式は $x - \sqrt{3}y = 0$ となる。

以上より、求める直線は $\sqrt{3}x + y + c = 0$（$c$ は任意の実数）および $x - \sqrt{3}y = 0$ である。

(2) 原点を中心とする左まわり $60^\circ$ の回転を表す行列を $R$ とすると、

$$ R = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} $$

変換 $f$ を行った後に回転を行う合成変換の行列を $M$ とすると、$M = RA$ である。

$$ M = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3+3 & -\sqrt{3}-5\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3}-\sqrt{3} & -3+5 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6 & -6\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -3\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} $$

点 $(x, y)$ が合成変換 $M$ によって $(X, Y)$ に移るとする。 $|M| = \frac{1}{4} (3 + 9) = 3 \neq 0$ より、逆行列 $M^{-1}$ が存在する。

$$ M^{-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 3\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 3\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 3 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} X + 3\sqrt{3}Y \\ -\sqrt{3}X + 3Y \end{pmatrix} $$

点 $(x, y)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上にあるので、代入して $(X, Y)$ の満たす方程式を求める。

$$ \left( \frac{X + 3\sqrt{3}Y}{6} \right)^2 + \left( \frac{-\sqrt{3}X + 3Y}{6} \right)^2 = 1 $$

両辺に $36$ を掛けて展開する。

$$ (X^2 + 6\sqrt{3}XY + 27Y^2) + (3X^2 - 6\sqrt{3}XY + 9Y^2) = 36 $$

$$ 4X^2 + 36Y^2 = 36 $$

両辺を $36$ で割る。

$$ \frac{X^2}{9} + Y^2 = 1 $$

求める曲線の方程式は $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ である。この曲線は、中心が原点、長軸が $x$ 軸上にあり長さが $6$（$x$ 切片が $\pm 3$）、短軸が $y$ 軸上にあり長さが $2$（$y$ 切片が $\pm 1$）の楕円である。

解法2

行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを利用して、変換の図形的な意味を捉える解法を示す。

$A$ の固有方程式は

$$ |A - \lambda I| = \begin{vmatrix} \frac{3}{2} - \lambda & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{5}{2} - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 $$

これを解いて、固有値は $\lambda = 1, 3$ となる。 $\lambda = 1$ のときの固有ベクトルは $\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix}$ であり、正規化すると $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ \\ \sin 30^\circ \end{pmatrix}$。 $\lambda = 3$ のときの固有ベクトルは $\begin{pmatrix} -1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$ であり、正規化すると $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin 30^\circ \\ \cos 30^\circ \end{pmatrix}$。

直交行列 $P = \begin{pmatrix} \vec{p_1} & \vec{p_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix}$ を用いると、$P$ は左まわり $30^\circ$ の回転を表し、

$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \iff A = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} P^{-1} $$

と対角化できる。これは、変換 $f$ が「右まわりに $30^\circ$ 回転し、$y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大した後、左まわりに $30^\circ$ 回転して元に戻す」変換であることを意味する。

(1) 直線が自分自身に移されるのは、その直線の方向ベクトルが $A$ の固有ベクトルに平行であるか、直線上のすべての点が固有空間によって不変に保たれる場合である。方向ベクトルが $\vec{p_2}$ である直線群は、定数倍の拡大を受けても直線全体としては自分自身に重なる。この直線の傾きは $-\sqrt{3}$ であり、方程式は $\sqrt{3}x + y + c = 0$ となる。方向ベクトルが $\vec{p_1}$ である直線は変換によって点ごとの位置も変わらない（固有値 $1$ のため）が、原点を通らない場合は変換によって平行移動してしまうため元の直線と一致しない。したがって原点を通る必要があり、その方程式は $x - \sqrt{3}y = 0$ となる。

(2) 求める合成変換は、行列 $R = \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix}$ を左から掛けることである。

$$ M = RA = R P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} P^{-1} $$

ここで、$RP$ は「$30^\circ$ 回転した後に $60^\circ$ 回転する」ことを表すため、全体として $90^\circ$ の回転となる。

$$ RP = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点を $\vec{x}$ とする。まず $P^{-1}$ によって回転させても、円は原点中心であるため自分自身のままである。次に $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ によって $y$ 方向に $3$ 倍されるため、図形は $x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$ という楕円になる。最後に $RP$ つまり $90^\circ$ の回転を行うと、$x$ 軸と $y$ 軸が入れ替わり（$X = -y, Y = x$）、図形は $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ となる。概形は、長軸が $x$ 軸上（長さ $6$）、短軸が $y$ 軸上（長さ $2$）の楕円である。

解説

行列による図形の変換を問う標準的な問題です。 (1)では、1次変換によって直線が直線に移る性質を利用し、方程式の係数比較に持ち込む解法1が汎用性が高く確実です。計算の際、直線が原点を通る場合（$c=0$）とそうでない場合（$c \neq 0$）で条件が分かれることに注意が必要です。 (2)の解法2で示したように、与えられた対称行列を直交行列で対角化することで、変換が「回転」と「軸方向の拡大」の組み合わせとして視覚的に理解できるようになります。特に円の変換においては、回転が円を不変に保つ性質と相性が良く、計算量を劇的に減らすことができます。