北海道大学 1979年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) 原点を中心とする半径 $r$ の円周上の点を媒介変数 $\phi$ を用いて表し、これを行列 $A$ で変換した点の座標 $(X, Y)$ を求めます。その後、媒介変数 $\phi$ を消去して $(X, Y)$ の満たす方程式を導出します。

(2) (1)で得られた方程式を $x, y, t$ の関係式とみなし、$t \geqq 1$ を満たす実数 $t$ が存在するような点 $(x, y)$ の条件を求めます。変数を分離し、$t$ の関数として取りうる値の範囲を考えるアプローチが有効です。

解法1

(1)

原点を中心とする半径 $r$ の円周上の点 $(x, y)$ は、媒介変数 $\phi$ （$0 \leqq \phi < 2\pi$）を用いて次のように表せる。

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \phi \\ r \sin \phi \end{pmatrix} $$

この点が行列 $A$ による 1 次変換によって点 $(X, Y)$ に移るとすると、以下の式が成り立つ。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ t \sin \theta & t \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \cos \phi \\ r \sin \phi \end{pmatrix} $$

右辺の行列の乗法を計算すると、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi) \\ rt(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi) \end{pmatrix} $$

三角関数の加法定理より、次のように整理できる。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos (\phi + \theta) \\ rt \sin (\phi + \theta) \end{pmatrix} $$

すなわち、

$$ X = r \cos (\phi + \theta) $$

$$ Y = rt \sin (\phi + \theta) $$

ここで、$\alpha = \phi + \theta$ とおくと、$\phi$ が $0 \leqq \phi < 2\pi$ を動くとき $\alpha$ も長さ $2\pi$ の区間を動く。したがって、$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ より、

$$ \left( \frac{X}{r} \right)^2 + \left( \frac{Y}{rt} \right)^2 = 1 $$

が成り立つ。よって、求める図形は

$$ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{(rt)^2} = 1 $$

で表される、原点を中心とし、$x$ 軸との交点が $(\pm r, 0)$、$y$ 軸との交点が $(0, \pm rt)$ である楕円である（ただし、$t=1$ のときは半径 $r$ の円となる）。この図形は、座標平面上に長軸と短軸の頂点をとって描かれる楕円となる。

(2)

(1) の結果より、点 $(x, y)$ が求める存在範囲に属する条件は、方程式

$$ \frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2 t^2} = 1 $$

を満たす実数 $t$ が $t \geqq 1$ の範囲に存在することである。

$t \geqq 1$ より $0 < \frac{1}{t^2} \leqq 1$ である。ここで、$k = \frac{1}{t^2}$ とおくと、満たすべき条件は

$$ x^2 + k y^2 = r^2 $$

すなわち

$$ k y^2 = r^2 - x^2 $$

を満たす実数 $k$ が $0 < k \leqq 1$ の範囲に存在することと同値である。

(i) $y \neq 0$ のとき

$$ k = \frac{r^2 - x^2}{y^2} $$

これが $0 < k \leqq 1$ を満たせばよいので、

$$ 0 < \frac{r^2 - x^2}{y^2} \leqq 1 $$

各辺に正の値である $y^2$ を掛けて、

$$ 0 < r^2 - x^2 \leqq y^2 $$

左側の不等式 $0 < r^2 - x^2$ より、

$$ x^2 < r^2 \iff -r < x < r $$

右側の不等式 $r^2 - x^2 \leqq y^2$ より、

$$ x^2 + y^2 \geqq r^2 $$

なお、これら2つの不等式を同時に満たすとき、$x^2 < r^2 \leqq x^2 + y^2$ となるため $y^2 > 0$ であり、$y \neq 0$ は常に満たされる。したがって、この場合の領域は

$$ -r < x < r \quad \text{かつ} \quad x^2 + y^2 \geqq r^2 $$

(ii) $y = 0$ のとき

条件の式は $x^2 = r^2$ となり、$x = \pm r$ を得る。 このとき、任意の $k$ （$0 < k \leqq 1$）に対して等式が成り立つため、$t \geqq 1$ なる任意の $t$ について点 $(\pm r, 0)$ は楕円上の点となる。よって、点 $(r, 0)$ および点 $(-r, 0)$ は領域に含まれる。

(i), (ii) より、求める存在範囲は、連立不等式

$$ \begin{cases} -r < x < r \\ x^2 + y^2 \geqq r^2 \end{cases} $$

が表す領域と、2点 $(r, 0), (-r, 0)$ を合わせたものである。 これを図示すると、円 $x^2 + y^2 = r^2$ の外部（境界を含む）のうち、2直線 $x = -r$ と $x = r$ に挟まれた部分となる。ただし、境界線については、円弧上の点は含み、直線 $x = \pm r$ 上の点は $x$ 軸との交点のみを含む。

解説

(1) は円のパラメータ表示と行列による一次変換の基本問題です。変換後の座標を求めた際に、三角関数の加法定理を用いて式を整理できるかがポイントです。 (2) は図形の通過領域を求める問題です。「$t$ を動かしたときの図形の軌跡」は、「その点を通るような $t$ が指定の範囲内に存在する」という条件に言い換える（逆像法）のが定石です。本問のように $t$ をひとつの変数（ここでは $k$）として分離し、値域の条件に帰着させると計算が簡明になります。境界の端点（$y=0$ の場合）の扱いに注意深く場合分けをすることが重要です。

答え

(1) 楕円 $\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{(rt)^2} = 1$ （$t=1$ のときは円）。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} -r < x < r \\ x^2 + y^2 \geqq r^2 \end{cases}$ で表される領域、および 2点 $(r, 0), (-r, 0)$ 。