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名古屋大学 1986年理系第1問解説

方針・初手

(1) 求める曲線上の点を $(x, y)$ とおき、一次変換の逆変換を用いて元の楕円上の点 $(X, Y)$ を $(x, y)$ で表す。それを楕円の方程式に代入する方針が基本である。あるいは、楕円を媒介変数表示して変換する手法も有効である。

(2) いわゆる反転の変換である。$P, Q$ は原点を通る半直線上にあるため、$P(X, Y), Q(x, y)$ とすると正の実数 $k$ を用いて $(X, Y) = k(x, y)$ とおける。条件 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = 8$ を用いて $k$ を求め、$P$ の軌跡の方程式に代入する。

解法1

(1)

変換前の楕円上の点を $(X, Y)$、変換後の曲線の点を $(x, y)$ とする。題意より、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$$

ここで、変換に用いる行列の行列式は $\frac{1}{2}\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = \frac{3}{2} \neq 0$ であるから、逆行列が存在し、次のように変形できる。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3}(x+y) \\ \frac{1}{3}(-2x+y) \end{pmatrix}$$

点 $(X, Y)$ はだ円 $\frac{X^2}{4} + (Y-2)^2 = 1$ 上にあるので、代入して整理する。

$$\frac{1}{4} \left\{ \frac{2}{3}(x+y) \right\}^2 + \left\{ \frac{1}{3}(-2x+y) - 2 \right\}^2 = 1$$

$$\frac{1}{9}(x+y)^2 + \frac{1}{9}(-2x+y-6)^2 = 1$$

$$(x+y)^2 + (-2x+y-6)^2 = 9$$

これを展開して整理する。

$$(x^2+2xy+y^2) + (4x^2+y^2+36-4xy+24x-12y) = 9$$

$$5x^2 - 2xy + 2y^2 + 24x - 12y + 27 = 0$$

これが求める曲線の方程式である。

(2)

(1) で得られた曲線を $C$ とする。$C$ 上の点 $P$ の座標を $(X, Y)$、対応する点 $Q$ の座標を $(x, y)$ とおく。

$P, Q$ は原点 $O$ から出る同じ半直線上にあるから、正の実数 $k$ を用いて

$$X = kx, \quad Y = ky$$

と表せる。条件 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = 8$ より、

$$\sqrt{X^2+Y^2} \sqrt{x^2+y^2} = 8$$

$$\sqrt{k^2(x^2+y^2)} \sqrt{x^2+y^2} = 8$$

$k > 0$ であるから、

$$k(x^2+y^2) = 8$$

点 $Q$ は原点ではないから $x^2+y^2 \neq 0$ であり、$k = \frac{8}{x^2+y^2}$ となる。よって、

$$X = \frac{8x}{x^2+y^2}, \quad Y = \frac{8y}{x^2+y^2}$$

これを $C$ の方程式 $(X+Y)^2 + (-2X+Y-6)^2 = 9$ に代入する。

$$\left( \frac{8x+8y}{x^2+y^2} \right)^2 + \left( \frac{-16x+8y}{x^2+y^2} - 6 \right)^2 = 9$$

両辺に $(x^2+y^2)^2$ を掛ける。

$$64(x+y)^2 + \{ -8(2x-y) - 6(x^2+y^2) \}^2 = 9(x^2+y^2)^2$$

$$64(x+y)^2 + 64(2x-y)^2 + 96(2x-y)(x^2+y^2) + 36(x^2+y^2)^2 = 9(x^2+y^2)^2$$

$$27(x^2+y^2)^2 + 96(2x-y)(x^2+y^2) + 64 \{ (x+y)^2 + (2x-y)^2 \} = 0$$

ここで $(x+y)^2 + (2x-y)^2 = 5x^2 - 2xy + 2y^2$ であるから、

$$27(x^2+y^2)^2 + 96(2x-y)(x^2+y^2) + 64(5x^2 - 2xy + 2y^2) = 0$$

なお、点 $Q$ は原点に一致しないため、$(x, y) \neq (0, 0)$ である。

解法2

(1)

だ円 $\frac{x^2}{4} + (y-2)^2 = 1$ 上の点は、媒介変数 $\theta \ (0 \le \theta < 2\pi)$ を用いて $(2\cos\theta, 2+\sin\theta)$ と表せる。この点が変換された点を $(x, y)$ とすると、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ 2+\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta - \sin\theta - 2 \\ 2\cos\theta + \sin\theta + 2 \end{pmatrix}$$

よって、次が成り立つ。

$$\begin{cases} x + 2 = \cos\theta - \sin\theta \\ y - 2 = 2\cos\theta + \sin\theta \end{cases}$$

この連立方程式を $\cos\theta, \sin\theta$ について解く。2式の和と、第1式の2倍から第2式を引いたものをそれぞれ計算すると、

$$3\cos\theta = x + y, \quad -3\sin\theta = 2x - y + 6$$

$$\cos\theta = \frac{x+y}{3}, \quad \sin\theta = \frac{-2x+y-6}{3}$$

これらを $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入して、

$$\left( \frac{x+y}{3} \right)^2 + \left( \frac{-2x+y-6}{3} \right)^2 = 1$$

$$(x+y)^2 + (-2x+y-6)^2 = 9$$

展開して整理すると、

$$5x^2 - 2xy + 2y^2 + 24x - 12y + 27 = 0$$

(2)

極座標を用いて考える。(1) の曲線を極座標 $(r, \phi)$ で表すため、$x = r\cos\phi, y = r\sin\phi$ を代入する。

$$(r\cos\phi + r\sin\phi)^2 + (-2r\cos\phi + r\sin\phi - 6)^2 = 9$$

$$r^2(\cos\phi+\sin\phi)^2 + r^2(-2\cos\phi+\sin\phi)^2 - 12r(-2\cos\phi+\sin\phi) + 36 = 9$$

$$r^2 \{ (\cos\phi+\sin\phi)^2 + (-2\cos\phi+\sin\phi)^2 \} + 12r(2\cos\phi-\sin\phi) + 27 = 0$$

ここで $(\cos\phi+\sin\phi)^2 + (-2\cos\phi+\sin\phi)^2 = 5\cos^2\phi - 2\sin\phi\cos\phi + 2\sin^2\phi$ より、

$$r^2 (5\cos^2\phi - 2\sin\phi\cos\phi + 2\sin^2\phi) + 12r(2\cos\phi-\sin\phi) + 27 = 0$$

点 $Q$ の極座標を $(R, \phi)$ とすると、条件 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = 8$ より $r R = 8$、すなわち $r = \frac{8}{R}$ である。これを代入すると、

$$\frac{64}{R^2} (5\cos^2\phi - 2\sin\phi\cos\phi + 2\sin^2\phi) + \frac{96}{R}(2\cos\phi-\sin\phi) + 27 = 0$$

直交座標 $(x, y)$ に戻すため、$\cos\phi = \frac{x}{R}, \sin\phi = \frac{y}{R}$ を代入する。

$$\frac{64}{R^2} \left( 5\frac{x^2}{R^2} - 2\frac{xy}{R^2} + 2\frac{y^2}{R^2} \right) + \frac{96}{R} \left( 2\frac{x}{R} - \frac{y}{R} \right) + 27 = 0$$

$$\frac{64(5x^2 - 2xy + 2y^2)}{R^4} + \frac{96(2x-y)}{R^2} + 27 = 0$$

両辺に $R^4 = (x^2+y^2)^2$ を掛けると、

$$64(5x^2 - 2xy + 2y^2) + 96(2x-y)(x^2+y^2) + 27(x^2+y^2)^2 = 0$$

（ただし、$(x, y) \neq (0, 0)$ とする。）

解説

(1) は一次変換による図形の移動を求める典型問題である。逆行列を用いる手法と、パラメータ表示を用いる手法のどちらでもスムーズに解くことができる。

(2) は反転変換を扱う問題である。直交座標で $Q(x,y)$ とおいて $P$ の座標を $(x,y)$ の式で表し、(1) で求めた方程式に代入するという軌跡の定石に従えばよい。計算量がやや多いため、式全体を一気に展開するのではなく、塊ごとに整理して計算ミスを防ぎたい。また、極座標を経由する解法は反転の条件と相性が良く、見通しよく計算を進められるため習得しておきたい。