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北海道大学 1997年文系第2問解説

方針・初手

巨大な累乗の数の桁数および最高位の数字を求める問題である。常用対数（底が10の対数）をとることで、これらの情報を引き出すことができる。具体的には、ある正の数 $N$ について、$\log_{10} N = m + \alpha$（$m$ は整数、$0 \leqq \alpha < 1$）と表したとき、$m$ が桁数に、$10^\alpha$ が最高位の数字に関する情報を与える。

解法1

(1)

$18^{35}$ の常用対数を計算する。

$$ \begin{aligned} \log_{10} 18^{35} &= 35 \log_{10} (2 \cdot 3^2) \\ &= 35 (\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3) \end{aligned} $$

与えられた近似値 $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入する。

$$ \begin{aligned} \log_{10} 18^{35} &= 35 (0.3010 + 2 \times 0.4771) \\ &= 35 (0.3010 + 0.9542) \\ &= 35 \times 1.2552 \\ &= 43.932 \end{aligned} $$

この結果から、次の不等式が成り立つ。

$$ 43 \leqq \log_{10} 18^{35} < 44 $$

底 $10$ は $1$ より大きいので、

$$ 10^{43} \leqq 18^{35} < 10^{44} $$

したがって、$18^{35}$ は44桁の整数である。

(2)

(1) の計算結果より、

$$ \log_{10} 18^{35} = 43 + 0.932 $$

であるから、

$$ 18^{35} = 10^{43.932} = 10^{0.932} \times 10^{43} $$

と表せる。$18^{35}$ の最高位の数字は、$10^{0.932}$ の整数部分と一致する。

ここで、$\log_{10} 8$ と $\log_{10} 9$ の値を計算し、$0.932$ と比較する。

$$ \log_{10} 8 = \log_{10} 2^3 = 3 \log_{10} 2 = 3 \times 0.3010 = 0.9030 $$

$$ \log_{10} 9 = \log_{10} 3^2 = 2 \log_{10} 3 = 2 \times 0.4771 = 0.9542 $$

これより、$0.9030 < 0.932 < 0.9542$ が成り立つので、

$$ \log_{10} 8 < \log_{10} 10^{0.932} < \log_{10} 9 $$

底 $10$ は $1$ より大きいので、

$$ 8 < 10^{0.932} < 9 $$

各辺に $10^{43}$ を掛けて、

$$ 8 \times 10^{43} < 10^{0.932} \times 10^{43} < 9 \times 10^{43} $$

すなわち、

$$ 8 \times 10^{43} < 18^{35} < 9 \times 10^{43} $$

となる。よって、$18^{35}$ の最高位の数字は $8$ であることが示された。

解説

常用対数を用いた桁数と最高位の数字の決定は、対数の基本的な応用として頻出の典型問題である。

$\log_{10} N$ の値を計算し、それを整数部分 $m$ と小数部分 $\alpha$ に分けることが処理の基本となる。整数部分 $m$ からは桁数（$m+1$ 桁）が分かり、小数部分 $\alpha$ は最高位の数字を決定するために用いられる。$\log_{10} x \leqq \alpha < \log_{10} (x+1)$ となる $1$ 桁の自然数 $x$ を探すことで、最高位の数字が $x$ であると結論づけることができる。