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北海道大学 1974年文系第3問解説

方針・初手

与えられた対数の等式から、$a_m, a_{2m}, a_{4m}$ の間の関係式を導く。また、数列 $\{a_n\}$ は等差数列であるため、項の番号の差から $a_m, a_{2m}, a_{4m}$ の間にある関係式（添字の差に比例する性質）を利用する。これにより $a_m$ に関する方程式を立てて $a_{2m}$ を決定できる。後半では求めた値を用いて $a$ と $m$ の関係式を導き、$a$ が整数であることを利用して候補を絞り込む。

解法1

(1) 与えられた条件式は以下の通りである。

$$ \log a_m = \frac{1}{2} \log a_{2m} = \frac{1}{3} \log a_{4m} \ (\neq 0) $$

この各辺の値を $k$ とおく。$k \neq 0$ であり、次の関係が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \log a_m &= k \\ \log a_{2m} &= 2k \\ \log a_{4m} &= 3k \end{aligned} $$

対数の定義より、

$$ \begin{aligned} a_m &= 10^k \\ a_{2m} &= 10^{2k} = (10^k)^2 = a_m^2 \\ a_{4m} &= 10^{3k} = (10^k)^3 = a_m^3 \end{aligned} $$

を得る。ここで $k \neq 0$ より $a_m \neq 1$ である。また、真数条件より $a_m > 0$ である。

一方、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a$、公差 $d$ の等差数列であるから、その一般項は $a_n = a + (n-1)d$ と表せる。これを用いて $a_m, a_{2m}, a_{4m}$ の差を計算すると、

$$ \begin{aligned} a_{2m} - a_m &= \{a + (2m-1)d\} - \{a + (m-1)d\} = md \\ a_{4m} - a_{2m} &= \{a + (4m-1)d\} - \{a + (2m-1)d\} = 2md \end{aligned} $$

となる。したがって、次の関係式が成り立つ。

$$ a_{4m} - a_{2m} = 2(a_{2m} - a_m) $$

この式に $a_{2m} = a_m^2$ および $a_{4m} = a_m^3$ を代入する。

$$ a_m^3 - a_m^2 = 2(a_m^2 - a_m) $$

整理すると、

$$ a_m^3 - 3a_m^2 + 2a_m = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ a_m(a_m - 1)(a_m - 2) = 0 $$

$a_m > 0$ かつ $a_m \neq 1$ であるから、$a_m = 2$ と定まる。求める $a_{2m}$ は、

$$ a_{2m} = a_m^2 = 2^2 = 4 $$

(2) (1)より、$a_m = 2, a_{2m} = 4$ であるから、等差数列の一般項の式に代入して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a + (m-1)d = 2 & \cdots \text{①} \\ a + (2m-1)d = 4 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

② から ① を引くと、

$$ md = 2 $$

これより $d = \frac{2}{m}$ を得る。これを ① に代入して $a$ について解く。

$$ \begin{aligned} a + (m-1)\frac{2}{m} &= 2 \\ a + 2 - \frac{2}{m} &= 2 \\ a &= \frac{2}{m} \end{aligned} $$

題意より、$m$ は数列の項の番号を表すため自然数である。また、$a$ は整数であるから、$m$ は $2$ の正の約数でなければならない。よって、$m = 1, 2$ のいずれかである。

(i) $m = 1$ のとき $a = \frac{2}{1} = 2$ となる。このとき $d = 2$ であり、一般項は $a_n = 2 + 2(n-1) = 2n$ となる。 $a_1 = 2, a_2 = 4, a_4 = 8$ であり、条件式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \log a_1 &= \log 2 \\ \frac{1}{2} \log a_2 &= \frac{1}{2} \log 4 = \log 2 \\ \frac{1}{3} \log a_4 &= \frac{1}{3} \log 8 = \log 2 \end{aligned} $$

これらはすべて等しく、かつ $0$ ではないため条件を満たす。

(ii) $m = 2$ のとき $a = \frac{2}{2} = 1$ となる。このとき $d = 1$ であり、一般項は $a_n = 1 + 1(n-1) = n$ となる。 $a_2 = 2, a_4 = 4, a_8 = 8$ であり、条件式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \log a_2 &= \log 2 \\ \frac{1}{2} \log a_4 &= \frac{1}{2} \log 4 = \log 2 \\ \frac{1}{3} \log a_8 &= \frac{1}{3} \log 8 = \log 2 \end{aligned} $$

これらもすべて等しく、かつ $0$ ではないため条件を満たす。

以上より、求める整数 $a$ の値は $1$ または $2$ である。

解説

対数の方程式から真数同士の累乗の関係を導き出し、同時に等差数列としての項の差（添え字の差に比例する性質）を用いることが本問の核心である。文字定数 $m$ を含むため複雑に見えるが、$a_m, a_{2m}, a_{4m}$ をそれぞれ1つの変数とみて連立方程式を解く感覚で処理すれば見通しが良くなる。 (2)では、$a$ が整数で $m$ が自然数であるという条件から方程式の整数解を求める典型的な絞り込みの処理を行う。求まった値が元の条件をすべて満たすかの確認（十分性の確認）も記述しておくと論理的に隙がない。