東北大学 1999年 文系 第3問 解説

方針・初手

番号は

$$ N(P)=2^x(2y+1) $$

で与えられている。ここで $2y+1$ は奇数であるから、正の整数を「$2$ の冪 $\times$ 奇数」に一意に分解することに対応している。

したがって、ある番号 $m$ をもつ点の座標は、$m$ を

$$ m=2^x \times \text{(奇数)} $$

と表したときの指数 $x$ と、その奇数部分から直ちに求まる。 （1） は $2000$ の分解を行えばよく、（2） は $n,n+1,n+2$ のそれぞれに対応する座標を求めて面積公式を使えばよい。

解法1

(1)

$$ 2000=2^4\cdot 125=2^4(2\cdot 62+1) $$

である。

よって

$$ x=4,\qquad 2y+1=125 $$

より

$$ y=62 $$

となる。したがって、求める非負格子点の座標は

$$ (4,62) $$

である。

(2)

$n=2^a(2^a+1)$ とする。ただし $a\geqq 2$ である。

まず、$2^a+1$ は奇数であるから、$n$ に対応する点 $A$ は

$$ A\left(a,\frac{(2^a+1)-1}{2}\right)=\left(a,2^{a-1}\right) $$

である。

次に、$n+1$ は偶数 $n$ に $1$ を加えたものであるから奇数である。よって $n+1$ に対応する点 $B$ は

$$ B\left(0,\frac{(n+1)-1}{2}\right) ================================= # \left(0,\frac{n}{2}\right) \left(0,2^{a-1}(2^a+1)\right) $$

である。

さらに、

$$ n+2=2^a(2^a+1)+2=2\left(2^{a-1}(2^a+1)+1\right) $$

と書ける。

ここで $a\geqq 2$ なので $2^{a-1}$ は偶数であり、したがって $2^{a-1}(2^a+1)$ は偶数である。よって

$$ 2^{a-1}(2^a+1)+1 $$

は奇数である。したがって、$n+2$ に対応する点 $C$ は

$$ C\left(1,\frac{\left(2^{a-1}(2^a+1)+1\right)-1}{2}\right) ========================================================= \left(1,2^{a-2}(2^a+1)\right) $$

である。

以上より

$$ A=\left(a,2^{a-1}\right),\quad B=\left(0,2^{a-1}(2^a+1)\right),\quad C=\left(1,2^{a-2}(2^a+1)\right) $$

である。

ここで

$$ \overrightarrow{AB} =================== # \left(-a,,2^{a-1}(2^a+1)-2^{a-1}\right) \left(-a,,2^{2a-1}\right) $$

$$ \overrightarrow{AC} =================== # \left(1-a,,2^{a-2}(2^a+1)-2^{a-1}\right) \left(1-a,,2^{a-2}(2^a-1)\right) $$

となるから、三角形の面積 $S$ は

$$ S=\frac12\left| \begin{vmatrix} -a & 2^{2a-1}\ 1-a & 2^{a-2}(2^a-1) \end{vmatrix} \right| $$

$$ =\frac12\left| -a\cdot 2^{a-2}(2^a-1)-2^{2a-1}(1-a) \right| $$

$$ =\frac12\left| 2^{a-2}\left{-a(2^a-1)-2^{a+1}(1-a)\right} \right| $$

$$ =\frac12\cdot 2^{a-2}\left(a(2^a+1)-2^{a+1}\right) $$

$$ =2^{a-3}\left(a(2^a+1)-2^{a+1}\right) $$

である。

したがって

$$ \triangle ABC \text{ の面積 }=2^{a-3}\left(a(2^a+1)-2^{a+1}\right) $$

となる。

なお、これを

$$ 2^{a-3}\left(2^a(a-2)+a\right) $$

と書いてもよい。

解説

この問題の本質は、正の整数の一意的な分解

$$ m=2^x\times \text{奇数} $$

と、点の座標 $(x,y)$ の対応を読むことである。つまり、$x$ は $2$ の指数、$y$ は奇数部分を $2y+1$ と見たときの $y$ である。

（2） では、$n,n+1,n+2$ の偶奇が順に「偶数、奇数、偶数」となることを使うと、各点の $x$ 座標がかなり簡単に決まる。特に $n+2$ について、$a\geqq 2$ だから括弧内が奇数になることの確認が重要である。

答え

$$ \text{（1） }(4,62) $$

$$ \text{（2） }\triangle ABC\text{ の面積 }=2^{a-3}\left(a(2^a+1)-2^{a+1}\right) $$

または

$$ 2^{a-3}\left(2^a(a-2)+a\right) $$

である。