北海道大学 2001年 文系 第4問 解説

方針・初手

勝負は最大4回で終了するため、各回の勝者を順番に追っていく（樹形図を描く）ことで全事象を容易に把握できる。1回目から順に、誰が勝ち残るかの推移を全て書き出す方針が確実である。

解法1

各回の勝者を順に並べた文字列で勝負の推移を表す。例えば、1回目に $A$ が勝ち、2回目に $C$ が勝ち、3回目に $C$ が勝って終了する場合を $ACC$ と表す。各勝負において、対戦する2人が勝つ確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。

1回目の勝負は $A$ と $B$ で行われる。勝者が $A$ の場合と $B$ の場合で分けて、終了までの推移を全て書き出す。

(i) 1回目に $A$ が勝つ場合

2回目は $A$ と、1回目に参加しなかった $C$ が対戦する。

• 2回目に $A$ が勝った場合、推移は $AA$ となり、$A$ が2連勝したためここで終了する。
• 2回目に $C$ が勝った場合、推移は $AC$ となり、次は $C$ と待機していた $B$ が対戦する。
  • 3回目に $C$ が勝った場合、推移は $ACC$ となり、$C$ が2連勝したため終了する。
  • 3回目に $B$ が勝った場合、推移は $ACB$ となり、次は $B$ と $A$ が対戦する。
    • 4回目に $B$ が勝った場合、推移は $ACBB$ となり、$B$ が2連勝して終了する。
    • 4回目に $A$ が勝った場合、推移は $ACBA$ となる。誰も2連勝していないが、4回の勝負を終えたためここで終了する。

(ii) 1回目に $B$ が勝つ場合

(i) において $A$ と $B$ の役割を入れ替えた推移となる。起こり得る推移は同様に以下の4通りである。

• $BB$（$B$ の2連勝で終了）
• $BCC$（$C$ の2連勝で終了）
• $BCAA$（$A$ の2連勝で終了）
• $BCAB$（誰も2連勝せずに4回で終了）

(1)

「誰かが2連勝して終了する」事象の余事象は、「誰も2連勝せずに4回の勝負を終える」事象である。

上記の全推移の書き出しから、誰も2連勝せずに終了する推移は $ACBA$ と $BCAB$ の2通りのみである。

勝負が4回行われる確率は、それぞれの推移において $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ である。

したがって、余事象の確率は $\frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$ となる。求める確率は、

$$ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} $$

(2)

全推移のうち、$A$ が2連勝して終了するものは、$AA$ と $BCAA$ の2通りである。

推移 $AA$ が起こる確率は、2回の勝負が行われるので、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} $$

推移 $BCAA$ が起こる確率は、4回の勝負が行われるので、

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} $$

これら2つの事象は互いに排反であるから、求める確率はこれらの和となる。

$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $$

解説

最大4回という少ない試行回数に着目し、全ての場合を漏れなく書き出すことが最も有効な解法である。確率の計算自体は単純な独立試行の積であるため、勝者がどのように移り変わるかという「状態の推移」を正確に追いかけられるかが問われている。(1) では直接確率を足し合わせてもよいが、余事象を利用することで計算ミスを防ぎやすくなる。

答え

(1) $\frac{7}{8}$

(2) $\frac{5}{16}$