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北海道大学 2020年文系第3問解説

方針・初手

最大公約数に関する確率の問題である。 (1) では「最大公約数がちょうど3になる」という条件を、「すべてが3の倍数」という条件から絞り込んで考える。 (2) では「最大公約数が1になる」事象を直接数え上げるのは難しいため、余事象である「最大公約数が2以上になる（すべてがある素数の倍数になる）」確率を考え、包含排斥の原理を用いて計算する。

解法1

(1)

$n$ 回の試行で出た目 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ の最大公約数が $3$ となるための条件は、すべての目が $3$ の倍数であり、かつ、少なくとも $1$ つは $3$ の目が出ることである。

さいころの目のうち、$3$ の倍数は $3, 6$ の $2$ 通りである。したがって、$n$ 回すべてにおいて $3$ の倍数の目が出る確率は

$$ \left( \frac{2}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

である。

このうち、少なくとも $1$ つは $3$ の目が出るという条件を満たさないのは、$n$ 回とも $6$ の目が出る場合のみである。その確率は

$$ \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

である。

ゆえに、求める確率は

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^n - \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

となる。

(2)

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ の最大公約数が $1$ となる事象の余事象、すなわち「最大公約数が $2$ 以上となる」事象の確率を考える。

最大公約数が $2$ 以上になるのは、すべての目がある素数 $p$ の倍数となるときである。さいころの目 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ に含まれる素因数は $2, 3, 5$ のいずれかである。ここで、次の $3$ つの事象 $A, B, C$ を定める。

$A$ : すべての目が $2$ の倍数（$2, 4, 6$）となる事象 $B$ : すべての目が $3$ の倍数（$3, 6$）となる事象 $C$ : すべての目が $5$ の倍数（$5$）となる事象

求める確率は、これらの事象がどれも起こらない確率であるから、$1 - P(A \cup B \cup C)$ を計算すればよい。

それぞれの事象が起こる確率は以下の通りである。

$$ P(A) = \left( \frac{3}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

$$ P(B) = \left( \frac{2}{6} \right)^n = \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

$$ P(C) = \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

次に、複数の事象が同時に起こる確率を考える。事象 $A \cap B$ は「すべての目が $2$ の倍数かつ $3$ の倍数」すなわち「すべての目が $6$ の倍数（$6$のみ）」となる事象であるから、

$$ P(A \cap B) = \left( \frac{1}{6} \right)^n $$

となる。

一方、事象 $B \cap C$ （すべての目が $15$ の倍数となる事象）や、事象 $C \cap A$ （すべての目が $10$ の倍数となる事象）は、さいころの目に該当する数がないため、起こり得ない。したがって、これらの確率は $0$ である。当然、$A \cap B \cap C$ が起こる確率も $0$ である。

以上より、包含排斥の原理を用いると、事象 $A \cup B \cup C$ の確率は

$$ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C) \\ &= \left( \frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{6} \right)^n - \left( \frac{1}{6} \right)^n - 0 - 0 + 0 \\ &= \left( \frac{1}{2} \right)^n + \left( \frac{1}{3} \right)^n \end{aligned} $$

となる。

ゆえに、求める確率は

$$ 1 - P(A \cup B \cup C) = 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

である。

解説

最大公約数と確率を絡めた典型的な問題である。最大公約数が $g$ である確率を求める際は、「すべての数が $g$ の倍数である」という条件から、さらに「最大公約数が $2g, 3g, \cdots$ となってしまう場合」を除外するという考え方が基本となる。特に「最大公約数が $1$（互いに素）」という条件は、そのまま扱うのが難しいため、素因数に注目して余事象を考える方針が極めて有効である。さいころの目に含まれる素因数が $2, 3, 5$ に限られるため、これらについての包含排斥の原理に帰着できる。