北海道大学 2005年 文系 第4問 解説

方針・初手

各回の結果は4色から1色を選ぶ試行なので、全事象は $4^4$ 通りである。
(1) は「4色すべて使う場合」と「ちょうど3色使う場合」を数え上げればよい。
(2) は $p_1,p_2,p_3,p_4$ を使ってもよいが、各色が1回以上現れるかどうかの指示関数を使うと一気に求まる。

解法1

4回の記録列はすべて同様に確からしく、その総数は

$$ 4^4=256 $$

通りである。

(1) $p_3,\ p_4$ を求める

まず $p_4$ を求める。4回とも異なる色が出ればよいから、その並べ方は

$$ 4!=24 $$

通りである。よって

$$ p_4=\frac{24}{256}=\frac{3}{32} $$

次に $p_3$ を求める。これは「4色のうちちょうど3色が現れ、1色だけ2回出る」場合である。

• 使わない色の選び方は ${}_{4}\mathrm{C}_{1}=4$ 通り
• 残り3色のうち、2回出る色の選び方は $3$ 通り
• 出方 $(2,1,1)$ の並べ方は

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通り

したがって、該当する並べ方は

$$ 4\cdot 3\cdot 12=144 $$

通りである。よって

$$ p_3=\frac{144}{256}=\frac{9}{16} $$

(2) $X$ の期待値を求める

4色それぞれについて、その色が4回の試行の中で少なくとも1回現れたとき $1$、現れなかったとき $0$ をとる変数を

$$ I_1,\ I_2,\ I_3,\ I_4 $$

とする。このとき、異なる色の数 $X$ は

$$ X=I_1+I_2+I_3+I_4 $$

と表せる。

各 $I_j$ について、

$$ P(I_j=1)=1-P(\text{その色が1回も出ない}) $$

である。1回の試行でその色が出ない確率は $\frac{3}{4}$ だから、

$$ P(I_j=1)=1-\left(\frac{3}{4}\right)^4 =1-\frac{81}{256} =\frac{175}{256} $$

したがって

$$ E(I_j)=\frac{175}{256} $$

である。期待値の線形性より

$$ E(X)=E(I_1)+E(I_2)+E(I_3)+E(I_4) =4\cdot \frac{175}{256} =\frac{175}{64} $$

解説

(1) は場合分けの問題で、何色使うかを固定したうえで、どの色が何回出るかという型を数えるのが基本である。
(2) は $p_1,p_2,p_3,p_4$ を全部求めて

$$ E(X)=1p_1+2p_2+3p_3+4p_4 $$

としてもよいが、指示関数を使う方が短く、計算ミスも起きにくい。

答え

(1) $$ p_3=\frac{9}{16},\qquad p_4=\frac{3}{32} $$

(2) $$ E(X)=\frac{175}{64} $$