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北海道大学 2012年文系第4問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

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$$ {}_2\mathrm{C}_{1} p q \times p = 2p^2q $$

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$$ P_2 = p^2 + 2p^2q $$

(2) $A$縺悟・縺ｫ3蜍昴☆繧九・縺ｯ縲∽ｻ･荳九・3縺､縺ｮ蝣ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・

(i) 3隧ｦ蜷育岼縺ｧ$A$縺・蜍晉岼繧呈嫌縺偵ｋ蝣ｴ蜷・ 1隧ｦ蜷育岼縺九ｉ$A$縺・騾｣蜍昴☆繧九・縺ｧ縲√◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ p^3 $$

(ii) 4隧ｦ蜷育岼縺ｧ$A$縺・蜍晉岼繧呈嫌縺偵ｋ蝣ｴ蜷・ 3隧ｦ蜷育岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ$A$縺・蜍・謨励→縺ｪ繧翫・隧ｦ蜷育岼縺ｧ$A$縺悟享縺､縺ｮ縺ｧ縲√◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ {}_3\mathrm{C}_{2} p^2 q \times p = 3p^3q $$

(iii) 5隧ｦ蜷育岼縺ｧ$A$縺・蜍晉岼繧呈嫌縺偵ｋ蝣ｴ蜷・ 4隧ｦ蜷育岼縺ｾ縺ｧ縺ｫ$A$縺・蜍・謨励→縺ｪ繧翫・隧ｦ蜷育岼縺ｧ$A$縺悟享縺､縺ｮ縺ｧ縲√◎縺ｮ遒ｺ邇・・

$$ {}_4\mathrm{C}_{2} p^2 q^2 \times p = 6p^3q^2 $$

**(i)*縲・(ii)*縲・(iii)**縺ｯ莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲∵ｱゅａ繧狗｢ｺ邇・P_3$縺ｯ

$$ P_3 = p^3 + 3p^3q + 6p^3q^2 $$

(3) $p+q=1$繧医ｊ縲・p=1-q$縺ｧ縺ゅｋ縲・ (1)縲・2)縺ｮ邨先棡繧医ｊ縲・P_2 - P_3$繧定ｨ育ｮ励☆繧九・

$$ \begin{aligned} P_2 - P_3 &= p^2(1+2q) - p^3(1+3q+6q^2) \\ &= p^2 \{ 1+2q - p(1+3q+6q^2) \} \\ &= p^2 \{ 1+2q - (1-q)(1+3q+6q^2) \} \\ &= p^2 \{ 1+2q - (1+3q+6q^2 - q - 3q^2 - 6q^3) \} \\ &= p^2 \{ 1+2q - (1+2q+3q^2-6q^3) \} \\ &= p^2(6q^3 - 3q^2) \\ &= 3p^2q^2(2q-1) \end{aligned} $$

縺薙％縺ｧ縲・\frac{1}{2} < q < 1$縺ｮ縺ｨ縺阪・ $p = 1-q > 0$縺ｧ縺ゅｊ縲・p^2 > 0$ $q > 0$繧医ｊ縲・q^2 > 0$ $q > \frac{1}{2}$繧医ｊ縲・2q-1 > 0$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

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$$ P_2 - P_3 = 3p^2q^2(2q-1) > 0 $$

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$$ P_3 < P_2 $$

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(3)縺ｮ螟ｧ蟆乗ｯ碑ｼ・・縲∝ｷｮ繧偵→縺｣縺ｦ蝗謨ｰ蛻・ｧ｣縺ｮ蠖｢繧剃ｽ懊ｋ縺薙→縺ｧ隨ｦ蜿ｷ繧貞愛螳壹＠縺ｾ縺吶ゅ％縺ｮ縺ｨ縺阪・p+q=1$繧貞茜逕ｨ縺励※螟画焚繧剃ｸ縺､縺ｫ貂帙ｉ縺呻ｼ井ｻ雁屓縺ｯ蠑丞・菴薙ｒ$q$縺ｮ蠑上↓縺吶ｋ・峨→縲・ｫ俶ｬ｡蠑上↓縺ｪ縺｣縺ｦ繧りｨ育ｮ励′隕矩壹＠繧・☆縺上↑繧翫∪縺吶・