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北海道大学 2012年文系第3問解説

方針・初手

領域の条件を不等式で表す基本問題である。まず、与えられた点がそれぞれの領域に含まれるための条件を、座標を代入して $a, b$ の連立不等式として立式する。次に、$ab$ 平面上にその不等式が表す領域を図示するため、境界となる3つの放物線の交点や上下関係を調べる。最後に、図示した領域の面積を定積分を用いて計算する。

解法1

(1)

点 $C(a+1, b+2)$ が領域 $D: y \geqq x^2$ に含まれるための条件は、

$$ b+2 \geqq (a+1)^2 $$

展開して整理すると、

$$ b \geqq a^2 + 2a - 1 $$

点 $A(a, b)$ が領域 $E: y \leqq x^2$ に含まれるための条件は、

$$ b \leqq a^2 $$

点 $B(a+3, b)$ が領域 $E: y \leqq x^2$ に含まれるための条件は、

$$ b \leqq (a+3)^2 $$

展開して整理すると、

$$ b \leqq a^2 + 6a + 9 $$

よって、求める $a, b$ の条件はこれらをすべて満たすことであるから、

$$ \begin{cases} b \geqq a^2 + 2a - 1 \\ b \leqq a^2 \\ b \leqq a^2 + 6a + 9 \end{cases} $$

(2)

(1) の条件を満たす領域 $F$ を $ab$ 平面上に図示するため、境界となる次の3つの曲線を考える。

$$ \begin{cases} C_1 : b = a^2 + 2a - 1 \\ C_2 : b = a^2 \\ C_3 : b = a^2 + 6a + 9 \end{cases} $$

各曲線の交点を求める。

$C_1$ と $C_2$ の交点は、

$$ a^2 + 2a - 1 = a^2 $$

より $2a = 1$ すなわち $a = \frac{1}{2}$ となり、$b = \frac{1}{4}$ である。よって交点は $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right)$ となる。

$C_1$ と $C_3$ の交点は、

$$ a^2 + 2a - 1 = a^2 + 6a + 9 $$

より $-4a = 10$ すなわち $a = -\frac{5}{2}$ となり、$b = \left( -\frac{5}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}$ ではない（計算ミスの確認：$b = a^2 + 2a - 1 = \frac{25}{4} - \frac{20}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4}$）。よって交点は $\left( -\frac{5}{2}, \frac{1}{4} \right)$ となる。

$C_2$ と $C_3$ の交点は、

$$ a^2 = a^2 + 6a + 9 $$

より $6a = -9$ すなわち $a = -\frac{3}{2}$ となり、$b = \frac{9}{4}$ である。よって交点は $\left( -\frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)$ となる。

次に、$C_2$ と $C_3$ の上下関係を調べる。

$$ a^2 - (a^2 + 6a + 9) = -3(2a + 3) $$

であるから、$a < -\frac{3}{2}$ のとき $C_2 > C_3$ （すなわち $a^2 > a^2 + 6a + 9$）、$a > -\frac{3}{2}$ のとき $C_2 < C_3$ （すなわち $a^2 < a^2 + 6a + 9$）となる。

領域 $F$ は $C_1$ の上側（境界含む）かつ $C_2, C_3$ の下側（境界含む）であるため、上で調べた大小関係より、領域 $F$ を表す不等式は $a$ の範囲によって次のように表される。

$-\frac{5}{2} \leqq a \leqq -\frac{3}{2}$ のとき

$$ a^2 + 2a - 1 \leqq b \leqq a^2 + 6a + 9 $$

$-\frac{3}{2} \leqq a \leqq \frac{1}{2}$ のとき

$$ a^2 + 2a - 1 \leqq b \leqq a^2 $$

以上より、領域 $F$ を $ab$ 平面上に図示すると、下図の斜線部分となる。ただし、境界線を含む。

（※ ここに概形を描く。頂点は $C_1$ が $(-1, -2)$、$C_2$ が $(0, 0)$、$C_3$ が $(-3, 0)$ である放物線で囲まれた図形となる。） $ab$平面上で、点 $(-\frac{5}{2}, \frac{1}{4})$ から $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ までは $C_3$ が上端、点 $(-\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ から $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ までは $C_2$ が上端となり、下端は常に $C_1$ となる図形である。

(3)

(2) より、領域 $F$ の面積 $S$ は次のように2つの定積分の和として計算できる。

$$ S = \int_{-\frac{5}{2}}^{-\frac{3}{2}} \left\{ (a^2 + 6a + 9) - (a^2 + 2a - 1) \right\} da + \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \left\{ a^2 - (a^2 + 2a - 1) \right\} da $$

被積分関数を整理すると、

$$ S = \int_{-\frac{5}{2}}^{-\frac{3}{2}} (4a + 10) da + \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (-2a + 1) da $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{5}{2}}^{-\frac{3}{2}} (4a + 10) da &= \left[ 2a^2 + 10a \right]_{-\frac{5}{2}}^{-\frac{3}{2}} \\ &= \left( 2 \cdot \frac{9}{4} - 15 \right) - \left( 2 \cdot \frac{25}{4} - 25 \right) \\ &= \left( \frac{9}{2} - \frac{30}{2} \right) - \left( \frac{25}{2} - \frac{50}{2} \right) \\ &= -\frac{21}{2} - \left( -\frac{25}{2} \right) \\ &= 2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (-2a + 1) da &= \left[ -a^2 + a \right]_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \\ &= \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{9}{4} - \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{1}{4} - \left( -\frac{15}{4} \right) \\ &= 4 \end{aligned} $$

よって、求める面積 $S$ は、

$$ S = 2 + 4 = 6 $$

解説

2次関数と領域の図示、および面積計算を組み合わせた標準的な問題である。 (1) では、点の座標を不等式に代入するだけであり、落ち着いて立式すればよい。 (2) では、複数の放物線で囲まれる領域を図示する際、どの放物線が上側にくるのか（上限となるか）を正確に把握することが重要である。ここでは交点の $a$ 座標を境に上限となる放物線が入れ替わるため、大小関係の比較が不可欠である。 (3) は (2) の図に基づいて積分区間と被積分関数を正しく設定できれば、あとは計算するのみである。被積分関数から2次項が消え、1次関数の積分（つまり台形や三角形の面積計算と同値）になるため、計算ミスを防ぐためにも直線で囲まれた図形として検算を行うのも有効である。