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北海道大学 2013年文系第2問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

2蛟九・繧ｵ繧､繧ｳ繝ｭ縺ｮ逶ｮ縺ｮ遨・$X$ 繧・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ縺ｫ繧医▲縺ｦ縲∫せ $P$ 縺ｮ遘ｻ蜍墓婿蜷代′豎ｺ縺ｾ繧九・縺ｾ縺壹・縲√し繧､繧ｳ繝ｭ縺ｮ逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ蜈ｨ36騾壹ｊ縺ｫ縺､縺・※縲・X$ 繧・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ縺・$0, 1, 2, 3$ 縺ｫ縺ｪ繧九◎繧後◇繧後・遒ｺ邇・ｒ豎ゅａ縺ｦ縺翫￥縺薙→縺悟・謇九→縺ｪ繧九・

隗｣豕・

2蛟九・繧ｵ繧､繧ｳ繝ｭ縺ｮ逶ｮ繧・$a, b$ ($1 \le a \le 6, 1 \le b \le 6$) 縺ｨ縺励∫岼縺ｮ遨阪ｒ $X = ab$ 縺ｨ縺吶ｋ縲・逶ｮ縺ｮ蜃ｺ譁ｹ縺ｯ蜈ｨ驛ｨ縺ｧ $36$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｊ縲√％繧後ｉ縺ｯ蜷梧ｧ倥↓遒ｺ縺九ｉ縺励＞縲・

$X$ 繧・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ縺・$0, 1, 2, 3$ 縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡繧偵◎繧後◇繧・$A_0, A_1, A_2, A_3$ 縺ｨ縺励√◎縺ｮ遒ｺ邇・ｒ $P(A_0), P(A_1), P(A_2), P(A_3)$ 縺ｨ縺吶ｋ縲・遨・$X$ 縺ｫ縺､縺・※縲∝・螂・ｄ邏蝗謨ｰ2縺ｮ蛟区焚縺ｫ豕ｨ逶ｮ縺励※蛻・｡槭☆繧九・

**(i) 菴吶ｊ縺・$1, 3$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・*

$X$ 縺悟･・焚縺ｨ縺ｪ繧九・縺ｯ縲・a, b$ 縺後→繧ゅ↓螂・焚縺ｮ縺ｨ縺阪〒縺ゅｊ縲√◎縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙・ $3 \times 3 = 9$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・縺薙ｌ繧峨ｒ蜈ｷ菴鍋噪縺ｫ譖ｸ縺榊・縺励・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ繧定ｪｿ縺ｹ繧九→莉･荳九・繧医≧縺ｫ縺ｪ繧九・

菴吶ｊ縺・$1$ 縺ｨ縺ｪ繧・$(a, b)$ 縺ｮ邨・・縲・(1, 1), (1, 5), (3, 3), (5, 1), (5, 5)$ 縺ｮ $5$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・
菴吶ｊ縺・$3$ 縺ｨ縺ｪ繧・$(a, b)$ 縺ｮ邨・・縲・(1, 3), (3, 1), (3, 5), (5, 3)$ 縺ｮ $4$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

**(ii) 菴吶ｊ縺・$2$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・*

$X$ 縺悟・謨ｰ縺ｧ縺ゅｊ縲√°縺､4縺ｮ蛟肴焚縺ｧ縺ｪ縺・ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲ゅ％繧後・縲・a, b$ 縺ｮ荳譁ｹ縺悟･・焚縺ｧ縲√ｂ縺・ｸ譁ｹ縺後・縺ｾ縺溘・6縲阪・蝣ｴ蜷医↓髯舌ｉ繧後ｋ縲・

$a$ 縺悟･・焚縲・b \in {2, 6}$ 縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・3 \times 2 = 6$ 騾壹ｊ縲・
$a \in \{2, 6\}$縲・b$ 縺悟･・焚縺ｮ縺ｨ縺搾ｼ・2 \times 3 = 6$ 騾壹ｊ縲・

蜷郁ｨ医〒 $12$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

**(iii) 菴吶ｊ縺・$0$ 縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷・*

蜈ｨ36騾壹ｊ縺九ｉ縲∽ｸ願ｨ倥・莠玖ｱ｡繧帝勁縺・◆蝣ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・

$$ 36 - (9 + 12) = 15 $$

繧医ｊ縲・15$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・

縺励◆縺後▲縺ｦ縲∝推莠玖ｱ｡縺ｮ遒ｺ邇・・莉･荳九・繧医≧縺ｫ縺ｪ繧九・

$$ \begin{aligned} P(A_0) &= \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \\ P(A_1) &= \frac{5}{36} \\ P(A_2) &= \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \\ P(A_3) &= \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \end{aligned} $$

(1)

1蝗槭・隧ｦ陦後〒轤ｹ $P$ 縺・$(1, 0)$ 縺ｫ縺ゅｋ縺ｮ縺ｯ縲・x$ 霆ｸ譁ｹ蜷代↓ $+1$ 蜍輔￥蝣ｴ蜷医√☆縺ｪ繧上■ $X$ 繧・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ縺・縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・豎ゅａ繧狗｢ｺ邇・・ $P(A_2)$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$ \frac{1}{3} $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

(2)

1蝗槭・隧ｦ陦後〒轤ｹ $P$ 縺・$(0, 1)$ 縺ｫ縺ゅｋ縺ｮ縺ｯ縲・y$ 霆ｸ譁ｹ蜷代↓ $+1$ 蜍輔￥蝣ｴ蜷医√☆縺ｪ繧上■ $X$ 繧・縺ｧ蜑ｲ縺｣縺滉ｽ吶ｊ縺・縺ｨ縺ｪ繧句ｴ蜷医〒縺ゅｋ縲・豎ゅａ繧狗｢ｺ邇・・ $P(A_3)$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・

$$ \frac{1}{9} $$

縺ｧ縺ゅｋ縲・

(3)

3蝗槭し繧､繧ｳ繝ｭ繧呈兜縺偵※縲∫せ $P$ 縺・$(2, 1)$ 縺ｫ縺ゅｋ譚｡莉ｶ繧定・∴繧九・ 1蝗槭・隧ｦ陦後〒蜍輔￥ $x$ 霆ｸ譁ｹ蜷代・y$ 霆ｸ譁ｹ蜷代・遘ｻ蜍暮㍼縺ｮ譛螟ｧ蛟､縺ｯ縺・★繧後ｂ $+1$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲・蝗槭・遘ｻ蜍輔〒蠎ｧ讓吶・謌仙・縺ｮ蜥後′ $2+1=3$ 縺ｨ縺ｪ繧九◆繧√↓縺ｯ縲∬ｲ縺ｮ譁ｹ蜷代∈縺ｮ遘ｻ蜍輔・1蠎ｦ繧りｵｷ縺薙▲縺ｦ縺ｯ縺ｪ繧峨↑縺・・

縺吶↑繧上■縲・蝗槭・隧ｦ陦後・縺・■莉･荳九・邨・∩蜷医ｏ縺帙′襍ｷ縺薙ｋ蝣ｴ蜷医・縺ｿ譚｡莉ｶ繧呈ｺ縺溘☆縲・

$x$ 霆ｸ譁ｹ蜷代↓ $+1$ 蜍輔￥莠玖ｱ｡・井ｽ吶ｊ2・峨′縺｡繧・≧縺ｩ2蝗・
$y$ 霆ｸ譁ｹ蜷代↓ $+1$ 蜍輔￥莠玖ｱ｡・井ｽ吶ｊ3・峨′縺｡繧・≧縺ｩ1蝗・

縺薙ｌ繧峨・蜿榊ｾｩ隧ｦ陦後・遒ｺ邇・→縺励※險育ｮ励〒縺阪ｋ縲よｱゅａ繧狗｢ｺ邇・・縲・

$$ {}_3\mathrm{C}_{2} \left( P(A_2) \right)^2 \left( P(A_3) \right)^1 $$

縺ｨ縺ｪ繧九ょ､繧剃ｻ｣蜈･縺吶ｋ縺ｨ縲・

$$ 3 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{27} $$

縺ｨ縺ｪ繧九・

隗｣隱ｬ

繧ｵ繧､繧ｳ繝ｭ2蛟九・蜃ｺ逶ｮ縺ｫ繧医ｋ遨阪・菴吶ｊ蛻・｡槭・縲√☆縺ｹ縺ｦ縺ｮ蝣ｴ蜷医ｒ譖ｸ縺榊・縺励※陦ｨ縺ｫ縺励※繧・$6 \times 6 = 36$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲∬ｩｦ鬨捺悽逡ｪ縺ｧ縺ｯ陦ｨ繧呈嶌縺・※謨ｰ縺井ｸ翫￡縺ｦ繧ゅΑ繧ｹ繧帝亟縺先怏蜉ｹ縺ｪ謇区ｮｵ縺ｨ縺ｪ繧九・ (3) 縺ｯ遘ｻ蜍募屓謨ｰ縺ｨ蛻ｰ驕泌ｺｧ讓吶・髢｢菫ゅ°繧峨∫匱逕溘☆縺ｹ縺堺ｺ玖ｱ｡縺ｮ邨・∩蜷医ｏ縺帙′1騾壹ｊ縺ｫ豎ｺ縺ｾ繧九％縺ｨ縺ｫ豌励▼縺代ｋ縺九′繝昴う繝ｳ繝医〒縺ゅｋ縲ゆｻ雁屓縺ｯ3蝗槭・遘ｻ蜍輔〒蠎ｧ讓吶・謌仙・蜥後′3縺ｨ縺ｪ繧九％縺ｨ縺九ｉ縲∵怙遏ｭ謇区焚縺ｧ縺ｮ蛻ｰ驕斐〒縺ゅｋ縺薙→繧貞茜逕ｨ縺励※邨・∩蜷医ｏ縺帙ｒ迚ｹ螳壹＠縺ｦ縺・ｋ縲・