トップ› 北海道大学› 2016年› 文系第3問

北海道大学 2016年文系第3問解説

方針・初手

(1) 与えられた辺と角の情報から、正弦定理を用いて $\sin \beta$ を求める。さらに2倍角の公式から $\cos 2\beta$ を計算する。

(2) (1)で求めた $\cos 2\beta$ の値から、三角形の内角の条件に注意して方程式を解き、$\beta$ の値を求める。

(3) $\triangle \text{ABC}$ が鋭角三角形であるという条件から (2) で求めた $\beta$ を一つに確定させる。その後、外接円の半径と中心角を利用して各ベクトルの内積を計算し、与えられたベクトル方程式の両辺と内積をとることで係数 $s, t$ を求める。

解法1

(1)

$\triangle \text{ABC}$ において、正弦定理より

$$ \frac{AB}{\sin \angle \text{ACB}} = \frac{AC}{\sin \angle \text{ABC}} $$

$$ \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sin \beta} $$

これより、$\sin \beta$ は次のように求まる。

$$ \sin \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} $$

次に、2倍角の公式を用いる。

$$ \cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta $$

$$ \cos 2\beta = 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{2 + 6 + 2\sqrt{12}}{16} = 1 - \frac{8 + 4\sqrt{3}}{8} = 1 - \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

(2)

$\beta$ は三角形の内角であり、$\angle \text{ACB} = 45^\circ$ であるから、$\beta$ のとりうる範囲は以下の通りである。

$$ 0^\circ < \beta < 135^\circ $$

したがって、$2\beta$ の範囲は

$$ 0^\circ < 2\beta < 270^\circ $$

(1)より $\cos 2\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、この範囲で方程式を解くと

$$ 2\beta = 150^\circ, 210^\circ $$

よって、$\beta$ の値は

$$ \beta = 75^\circ, 105^\circ $$

(3)

$\triangle \text{ABC}$ が鋭角三角形であるための条件は、すべての内角が $90^\circ$ 未満であることである。

(2)より $\beta = 105^\circ$ のときは鈍角三角形となるため不適であり、$\beta = 75^\circ$ である。

このとき、残りの角は

$$ \angle \text{BAC} = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ $$

となり、$\triangle \text{ABC}$ は確かに鋭角三角形である。

外心 $O$ について、円周角と中心角の定理より

$$ \angle \text{AOB} = 2\angle \text{ACB} = 90^\circ $$

$$ \angle \text{BOC} = 2\angle \text{BAC} = 120^\circ $$

$$ \angle \text{COA} = 2\angle \text{ABC} = 150^\circ $$

また、外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より

$$ 2R = \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 2\sqrt{2} $$

$$ R = \sqrt{2} $$

したがって、各頂点へのベクトルの大きさは $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = \sqrt{2}$ である。

これを用いて、各ベクトルの内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos 90^\circ = 0 $$

$$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|\cos 120^\circ = 2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 $$

$$ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = |\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OA}|\cos 150^\circ = 2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\sqrt{3} $$

ここで、与式 $\overrightarrow{OC} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ の両辺について $\overrightarrow{OA}$ との内積をとる。

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = s|\overrightarrow{OA}|^2 + t(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) $$

$$ -\sqrt{3} = 2s + 0 $$

$$ s = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

同様に、与式の両辺について $\overrightarrow{OB}$ との内積をとる。

$$ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = s(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}) + t|\overrightarrow{OB}|^2 $$

$$ -1 = 0 + 2t $$

$$ t = -\frac{1}{2} $$