北海道大学 2016年 文系 第2問 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数 $f(x)$ の式を、絶対値の中身の正負によって場合分けをして簡略化する。 絶対値の中身である $x(x-2)$ と $(x-1)(x-4)$ の符号が変化する $x = 0, 1, 2, 4$ を境界として、定義域 $-2 \leqq x \leqq 4$ を4つの区間に分割する。 (1)で求めた $x$ 軸との交点 $\alpha, \beta$ を積分区間とし、(2)では被積分関数が変化する境界ごとに定積分を分割して計算を行う。

解法1

(1)

絶対値の中身について、$x(x-2) = 0$ となるのは $x = 0, 2$。$(x-1)(x-4) = 0$ となるのは $x = 1, 4$。 定義域 $-2 \leqq x \leqq 4$ において、区間ごとに $f(x)$ を場合分けして整理する。

(i) $-2 \leqq x \leqq 0$ のとき $x(x-2) \geqq 0$, $(x-1)(x-4) \geqq 0$ であるから

$$ \begin{aligned} f(x) &= x(x-2) + (x-1)(x-4) + 3x - 10 \\ &= x^2 - 2x + x^2 - 5x + 4 + 3x - 10 \\ &= 2x^2 - 4x - 6 \end{aligned} $$

$f(x) = 0$ とすると $2(x+1)(x-3) = 0$ より $x = -1, 3$。 $-2 \leqq x \leqq 0$ の範囲を満たすのは $x = -1$。

(ii) $0 \leqq x \leqq 1$ のとき $x(x-2) \leqq 0$, $(x-1)(x-4) \geqq 0$ であるから

$$ \begin{aligned} f(x) &= -x(x-2) + (x-1)(x-4) + 3x - 10 \\ &= -x^2 + 2x + x^2 - 5x + 4 + 3x - 10 \\ &= -6 \end{aligned} $$

この区間において $f(x) = -6 \neq 0$ であるため、$x$ 軸との交点は持たない。

(iii) $1 \leqq x \leqq 2$ のとき $x(x-2) \leqq 0$, $(x-1)(x-4) \leqq 0$ であるから

$$ \begin{aligned} f(x) &= -x(x-2) - (x-1)(x-4) + 3x - 10 \\ &= -x^2 + 2x - x^2 + 5x - 4 + 3x - 10 \\ &= -2x^2 + 10x - 14 \end{aligned} $$

$f(x) = 0$ とすると $x^2 - 5x + 7 = 0$ となるが、判別式を $D$ とすると $D = 25 - 28 = -3 < 0$ より実数解をもたない。よって $x$ 軸との交点を持たない。

(iv) $2 \leqq x \leqq 4$ のとき $x(x-2) \geqq 0$, $(x-1)(x-4) \leqq 0$ であるから

$$ \begin{aligned} f(x) &= x(x-2) - (x-1)(x-4) + 3x - 10 \\ &= x^2 - 2x - x^2 + 5x - 4 + 3x - 10 \\ &= 6x - 14 \end{aligned} $$

$f(x) = 0$ とすると $6x - 14 = 0$ より $x = \frac{7}{3}$。 これは $2 \leqq x \leqq 4$ を満たす。

以上から、グラフは $(-2, 10), (-1, 0), (0, -6)$ を通る下に凸の放物線、$(0, -6)$ から $(1, -6)$ までの $x$ 軸に平行な線分、$(1, -6), (2, -2)$ を通る上に凸の放物線、$(2, -2), \left(\frac{7}{3}, 0\right), (4, 10)$ を通る直線をなめらかに繋いだものとなる。（グラフ描画は略） グラフと $x$ 軸との交点は $x = -1, \frac{7}{3}$ であるから、$\alpha < \beta$ より $\alpha = -1$, $\beta = \frac{7}{3}$。

(2)

(1) の結果より、求める定積分は

$$ \int_{-1}^{\frac{7}{3}} f(x) dx $$

である。関数 $f(x)$ の式が変化する境界で区間を分割して計算する。

$$ \int_{-1}^{\frac{7}{3}} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (2x^2 - 4x - 6) dx + \int_{0}^{1} (-6) dx + \int_{1}^{2} (-2x^2 + 10x - 14) dx + \int_{2}^{\frac{7}{3}} (6x - 14) dx $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \int_{-1}^{0} (2x^2 - 4x - 6) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 - 6x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{2}{3} - 2 + 6 \right) = -\frac{10}{3} $$

$$ \int_{0}^{1} (-6) dx = \left[ -6x \right]_{0}^{1} = -6 $$

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2} (-2x^2 + 10x - 14) dx &= \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 14x \right]_{1}^{2} \\ &= \left( -\frac{16}{3} + 20 - 28 \right) - \left( -\frac{2}{3} + 5 - 14 \right) \\ &= -\frac{40}{3} - \left( -\frac{29}{3} \right) \\ &= -\frac{11}{3} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{\frac{7}{3}} (6x - 14) dx &= \left[ 3x^2 - 14x \right]_{2}^{\frac{7}{3}} \\ &= \left( 3 \cdot \frac{49}{9} - 14 \cdot \frac{7}{3} \right) - (12 - 28) \\ &= \left( \frac{49}{3} - \frac{98}{3} \right) - (-16) \\ &= -\frac{49}{3} + 16 \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned} $$

これらをすべて足し合わせる。

$$ \int_{-1}^{\frac{7}{3}} f(x) dx = -\frac{10}{3} - 6 - \frac{11}{3} - \frac{1}{3} = \frac{-10 - 18 - 11 - 1}{3} = -\frac{40}{3} $$

解説

絶対値を含む関数の処理と定積分の計算力が問われる標準的な問題である。 (1)では、各絶対値記号の中身が $0$ になる $x$ の値を境に、数直線上でどのように符号が切り替わるかを丁寧に調べる必要がある。 (2)の積分計算では、分割された区間ごとの関数式を用いて個別に積分を行う。計算量が多く分数も頻出するため、単純な符号ミスや代入ミスを防ぐ正確な処理能力が求められる。

答え

(1) $$ f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x-6 & (-2\leqq x\leqq 0),\\ -6 & (0\leqq x\leqq 1),\\ -2x^2+10x-14 & (1\leqq x\leqq 2),\\ 6x-14 & (2\leqq x\leqq 4) \end{cases} $$ したがって、$\alpha=-1,\ \beta=\dfrac73$

(2) $-\frac{40}{3}$