トップ› 北海道大学› 1967年› 理系第5問

北海道大学 1967年理系第5問解説

方針・初手

(1)は媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ の関係式を導く。(2)は各座標を $t$ で微分して速度ベクトルを求め、内積が0になる条件を処理する。(3)は動点の道程（曲線の長さ）の公式 $L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$ を用いて定積分を計算する。

解法1

(1) 動点 $A$ の座標 $(x, y)$ は $x = 2t^2+1, y = t^3$ と表せる。 $t \geqq 0$ であるから、$x = 2t^2+1$ より $t = \sqrt{\frac{x-1}{2}}$ となる。これを $y = t^3$ に代入して、$A$ のえがく曲線の方程式は以下のようになる。

$$y = \left( \frac{x-1}{2} \right)^{\frac{3}{2}}$$

同様に、動点 $B$ の座標 $(x, y)$ は $x = t^2+1, y = -\frac{t^3}{9}$ と表せる。 $t \geqq 0$ であるから、$x = t^2+1$ より $t = \sqrt{x-1}$ となる。これを $y = -\frac{t^3}{9}$ に代入して、$B$ のえがく曲線の方程式は以下のようになる。

$$y = -\frac{1}{9}(x-1)^{\frac{3}{2}}$$

(2) 動点 $A$ と $B$ の速度ベクトルをそれぞれ $\vec{v}_A, \vec{v}_B$ とする。位置の成分を $t$ で微分して、

$$\vec{v}_A = \left( \frac{d}{dt}(2t^2+1), \frac{d}{dt}(t^3) \right) = (4t, 3t^2)$$

$$\vec{v}_B = \left( \frac{d}{dt}(t^2+1), \frac{d}{dt}\left(-\frac{t^3}{9}\right) \right) = \left( 2t, -\frac{t^2}{3} \right)$$

$\vec{v}_A$ と $\vec{v}_B$ が互いに垂直であるから、その内積は $0$ である。

$$\vec{v}_A \cdot \vec{v}_B = 4t \cdot 2t + 3t^2 \cdot \left(-\frac{t^2}{3}\right) = 0$$

$$8t^2 - t^4 = 0$$

$$t^2(8 - t^2) = 0$$

$t > 0$ であるから、$t^2 = 8$ となり、これを解いて以下を得る。

$$t = 2\sqrt{2}$$

(3) 動点 $A$ が $t=0$ から $t=1$ までの間に動いた道程 $L$ は、定積分を用いて次のように求められる。

$$L = \int_{0}^{1} |\vec{v}_A| dt = \int_{0}^{1} \sqrt{(4t)^2 + (3t^2)^2} dt = \int_{0}^{1} \sqrt{16t^2 + 9t^4} dt$$

$t \geqq 0$ において $\sqrt{16t^2 + 9t^4} = t\sqrt{16+9t^2}$ であるから、

$$L = \int_{0}^{1} t\sqrt{16+9t^2} dt$$

ここで、$u = 16+9t^2$ とおくと、$\frac{du}{dt} = 18t$ より $t dt = \frac{1}{18} du$ となる。 $t$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$u$ は $16$ から $25$ まで変化する。したがって、積分は次のように計算できる。

$$L = \int_{16}^{25} \frac{1}{18} \sqrt{u} du$$

$$L = \frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{16}^{25}$$

$$L = \frac{1}{27} (25^{\frac{3}{2}} - 16^{\frac{3}{2}})$$

$$L = \frac{1}{27} (125 - 64) = \frac{61}{27}$$

解説

媒介変数表示で表された曲線の扱い、速度ベクトルの定義、および道程（曲線の長さ）を求める定積分の基本事項を問う標準的な問題である。 (1)では、$t \geqq 0$ の条件から $t$ を $x$ の式として一意に定められることに注意する。 (3)の定積分は、ルートの中の $t^2$ を外に出すことで $t\sqrt{at^2+b}$ の形になり、ルートの中身全体を置換して積分する典型的なパターンである。丁寧な計算が求められる。