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北海道大学 1962年文系第9問解説

方針・初手

(1) では、無理関数を含む関数のグラフを描くため、まず定義域を確認した上で微分を行い、増減や極値を調べます。同時に、直線 (ロ) との交点を求め、2つのグラフの上下関係を把握します。 (2) は (1) で調べた上下関係をもとに、定積分を用いて面積を計算します。 (3) は $x$ 軸まわりの回転体の体積です。積分区間においてグラフが $x$ 軸のどちら側にあるか（符号）に注意し、外側の半径の2乗から内側の半径の2乗を引いて定積分します。

解法1

(1)

(イ)の関数を $f(x) = -x + 2 + \sqrt{x}$、(ロ)の関数を $g(x) = -\frac{1}{2}x + 2$ とおく。

関数 $f(x)$ に含まれる根号の中身は $0$ 以上であるから、定義域は $x \ge 0$ である。 $x > 0$ において $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x) = -1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

$f'(x) = 0$ とすると、

$$ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 $$

$$ \sqrt{x} = \frac{1}{2} $$

これを解いて、

$$ x = \frac{1}{4} $$

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \frac{1}{4} & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & 2 & \nearrow & \text{極大} & \searrow \end{array} $$

$x = \frac{1}{4}$ のとき、

$$ f\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4} + 2 + \sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{2} = \frac{9}{4} $$

よって、(イ)の関数の極大値は $x = \frac{1}{4}$ のとき $\frac{9}{4}$ である。

次に、(イ)と(ロ)のグラフの交点を求める。$f(x) = g(x)$ より、

$$ -x + 2 + \sqrt{x} = -\frac{1}{2}x + 2 $$

$$ -\frac{1}{2}x + \sqrt{x} = 0 $$

$$ \sqrt{x} \left( 1 - \frac{1}{2}\sqrt{x} \right) = 0 $$

したがって、$\sqrt{x} = 0$ または $\sqrt{x} = 2$ となり、これを解くと、

$$ x = 0, 4 $$

これらに対応する $y$ 座標は、$x=0$ のとき $y=2$、$x=4$ のとき $y=0$ である。よって、交点の座標は $(0, 2)$ と $(4, 0)$ である。

また、$0 < x < 4$ の範囲では、$\sqrt{x} > \frac{1}{2}x$ が成り立つため $f(x) > g(x)$ であり、(イ)のグラフは(ロ)のグラフよりも上側にある。さらに、$f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} < 0$ より、(イ)のグラフは上に凸の曲線である。

これらを総合すると、(イ)は $(0,2)$ を出発し、極大点 $\left(\frac{1}{4}, \frac{9}{4}\right)$ を経て右下がりに $(4,0)$ を通る上に凸の曲線となる。(ロ)は $(0,2)$ と $(4,0)$ を結ぶ線分を含む直線である。

(2)

(1) の結果から、$0 \le x \le 4$ の範囲において $f(x) \ge g(x)$ である。求める面積 $S$ は、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{0}^{4} \{ f(x) - g(x) \} dx \\ &= \int_{0}^{4} \left( -x + 2 + \sqrt{x} - \left( -\frac{1}{2}x + 2 \right) \right) dx \\ &= \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{2}x + x^{\frac{1}{2}} \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} \\ &= \left( -\frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \right) - 0 \\ &= -4 + \frac{2}{3} \cdot 8 \\ &= -4 + \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned} $$

(3)

区間 $0 \le x \le 4$ において、$g(x) = -\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$ であり、$f(x) \ge g(x) \ge 0$ が成り立つ。したがって、求める回転体の体積 $V$ は、

$$ V = \pi \int_{0}^{4} \{ f(x)^2 - g(x)^2 \} dx $$

ここで、被積分関数を計算する。

$$ \begin{aligned} f(x)^2 - g(x)^2 &= \left( -x + 2 + \sqrt{x} \right)^2 - \left( -\frac{1}{2}x + 2 \right)^2 \\ &= \left\{ (-x+2)^2 + 2(-x+2)\sqrt{x} + x \right\} - \left( \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 \right) \\ &= \left( x^2 - 4x + 4 - 2x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + x \right) - \left( \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 \right) \\ &= \left( x^2 - 3x + 4 - 2x^{\frac{3}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}} \right) - \left( \frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 \right) \\ &= \frac{3}{4}x^2 - x - 2x^{\frac{3}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$

よって、体積 $V$ を求める定積分は次のようになる。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{4} \left( \frac{3}{4}x^2 - x - 2x^{\frac{3}{2}} + 4x^{\frac{1}{2}} \right) dx \\ &= \pi \left[ \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} \\ &= \pi \left[ \frac{1}{4}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} \end{aligned} $$

上限 $x = 4$ を代入して計算する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left( \frac{1}{4} \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{4}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \right) \\ &= \pi \left( 16 - 8 - \frac{4}{5} \cdot 32 + \frac{8}{3} \cdot 8 \right) \\ &= \pi \left( 8 - \frac{128}{5} + \frac{64}{3} \right) \\ &= \pi \left( \frac{120 - 384 + 320}{15} \right) \\ &= \frac{56}{15}\pi \end{aligned} $$

解説

無理関数と直線のグラフに囲まれた図形の面積および回転体の体積を求める典型的な微積分の総合問題です。 (1) でグラフを描く際には、定義域の確認と極値の計算だけでなく、2つのグラフの交点を求めて上下関係を正確に把握することが重要です。 (3) の回転体の体積では、単に $f(x)-g(x)$ を2乗してはいけません。回転の軸から図形までの距離を考慮し、$x$ 軸から遠い方の曲線の2乗から近い方の直線の2乗を引いて積分する、$V = \pi \int (f(x)^2 - g(x)^2) dx$ の公式を正しく用いる必要があります。また、積分区間で常に $y \ge 0$ であることの確認も不可欠です。