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北海道大学 1970年理系第6問解説

方針・初手

3つのサイコロを区別して考え、起こり得るすべての結果の数を $6^3 = 216$ 通りとして確率を計算する。 (1)から(3)は条件を満たす目の出方を数え上げる基本的な確率の問題である。(4)は、AとBが交互にサイコロを投げる試行を繰り返すため、無限等比級数の和を用いてAが勝つ確率を求める。

解法1

3つのサイコロを区別して投げるものとすると、目の出方の総数は $6^3 = 216$ 通りであり、これらは同様に確からしい。

(1) 3つのサイコロの目の積が奇数になるのは、3つのサイコロすべてが奇数の目（$1, 3, 5$ のいずれか）を出したときである。その出方は、

$$ 3^3 = 27 \text{ (通り)} $$

である。よって、求める確率は、

$$ \frac{27}{216} = \frac{1}{8} $$

(2) 3つのサイコロの目が $3, 4, 5$ となるのは、これら3つの数字の並べ方の総数に等しい。その出方は、

$$ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \text{ (通り)} $$

である。よって、求める確率は、

$$ \frac{6}{216} = \frac{1}{36} $$

(3) 3つの目が連続した自然数となる組み合わせは、以下の4通りである。

$$ \{1, 2, 3\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}, \{4, 5, 6\} $$

それぞれの組み合わせについて、サイコロの目の出方は $3! = 6$ 通りずつある。したがって、連続事象の起こる出方の総数は、

$$ 4 \times 6 = 24 \text{ (通り)} $$

である。よって、求める確率は、

$$ \frac{24}{216} = \frac{1}{9} $$

(4) (1)より、奇数事象（Bが勝つ条件）の起こる確率は $\frac{1}{8}$ である。 (3)より、連続事象（Aが勝つ条件）の起こる確率は $\frac{1}{9}$ である。

Aがサイコロを投げて勝つ確率は $\frac{1}{9}$、勝てない確率は $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ である。 Bがサイコロを投げて勝つ確率は $\frac{1}{8}$、勝てない確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ である。

Aがちょうど $n$ 回目（$n$ は自然数）の自分の番で勝つのは、「Aが $n-1$ 回目まで勝てず、かつBも $n-1$ 回目まで勝てない」状態が続いた後、$n$ 回目にAが勝つ場合である。その確率は、

$$ \left( \frac{8}{9} \times \frac{7}{8} \right)^{n-1} \times \frac{1}{9} = \left( \frac{7}{9} \right)^{n-1} \times \frac{1}{9} $$

となる。 AとBの勝負は独立して繰り返されるため、各々の番でAが勝つ事象は互いに排反である。したがって、Aが勝つ確率 $P$ は、初項 $\frac{1}{9}$、公比 $\frac{7}{9}$ の無限等比級数の和となる。公比について $\left| \frac{7}{9} \right| < 1$ を満たすため、この無限等比級数は収束し、その和は、

$$ P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9} \left( \frac{7}{9} \right)^{n-1} = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{7}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{1}{2} $$

となる。

解説

(1)〜(3)は、同様に確からしい事象の分母を「サイコロを区別した $6^3$ 通り」に設定し、条件を満たす順列や組み合わせを数え上げる典型問題である。(2)で「目が $3, 4, 5$ となる」という表現は「いずれかのサイコロが $3$、どれかが $4$、残りが $5$ を出す」という意味として解釈し、順列として扱うのが自然である。(4)の交互に行うゲームの確率問題においては、勝負が長引くプロセスを $n$ 回目の試行として一般化し、無限等比級数を利用して確率の総和を求める手法が定石となる。