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北海道大学 1973年理系第6問解説

方針・初手

復元抽出における最大値の確率は、「最大値が $k$ 以下になる確率」を基準に考えるのが定石である。最大値 $X$ が $k$ 以下になるということは、3回の試行すべてにおいて $k$ 以下のカードを取り出すということと同値である。これを用いて、累積確率 $P(X \leqq k)$ からピンポイントの確率 $P(X=k)$ を求める。(3) の期待値の計算では、定義通りのシグマ計算を行うか、和のずらしを利用して計算量を減らす工夫をする。

解法1

(1)

$X \leqq k$ となる確率は、3回とも $k$ 以下のカードを取り出す確率であるから、

$$ P(X \leqq k) = \left( \frac{k}{9} \right)^3 $$

となる。

$X=1$ となる確率は、3回とも $1$ を取り出す確率であるから、

$$ P(X=1) = \left( \frac{1}{9} \right)^3 = \frac{1}{729} $$

である。

$X \leqq 3$ となる確率は、3回とも $3$ 以下のカードを取り出す確率であるから、

$$ P(X \leqq 3) = \left( \frac{3}{9} \right)^3 = \frac{27}{729} = \frac{1}{27} $$

である。

$X=3$ となる確率は、$X \leqq 3$ となる確率から $X \leqq 2$ となる確率を引けばよいので、

$$ P(X=3) = P(X \leqq 3) - P(X \leqq 2) = \left( \frac{3}{9} \right)^3 - \left( \frac{2}{9} \right)^3 = \frac{27 - 8}{729} = \frac{19}{729} $$

となる。

(2)

$X=k$ となる確率は、(1) と同様に $X \leqq k$ となる確率から $X \leqq k-1$ となる確率を引いて求められる。$2 \leqq k \leqq 9$ において、

$$ P(X=k) = P(X \leqq k) - P(X \leqq k-1) = \left( \frac{k}{9} \right)^3 - \left( \frac{k-1}{9} \right)^3 = \frac{k^3 - (k-1)^3}{729} = \frac{3k^2 - 3k + 1}{729} $$

となる。

(3)

(2) で求めた $P(X=k)$ の式に $k=1$ を代入すると、$\frac{3 - 3 + 1}{729} = \frac{1}{729}$ となり、(1) で求めた $P(X=1)$ の値と一致する。したがって、$1 \leqq k \leqq 9$ のすべての整数についてこの式が成り立つ。

$X$ の期待値 $E(X)$ は定義に従い計算すると、

$$ E(X) = \sum_{k=1}^{9} k P(X=k) = \sum_{k=1}^{9} k \cdot \frac{3k^2 - 3k + 1}{729} = \frac{1}{729} \sum_{k=1}^{9} (3k^3 - 3k^2 + k) $$

となる。ここで、各和を計算すると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{9} k &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 = 45 \\ \sum_{k=1}^{9} k^2 &= \frac{1}{6} \cdot 9 \cdot 10 \cdot 19 = 285 \\ \sum_{k=1}^{9} k^3 &= \left( \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \right)^2 = 2025 \end{aligned} $$

となるので、分子のシグマの中身を計算すると、

$$ \sum_{k=1}^{9} (3k^3 - 3k^2 + k) = 3 \cdot 2025 - 3 \cdot 285 + 45 = 6075 - 855 + 45 = 5265 $$

となる。したがって、求める期待値は、

$$ E(X) = \frac{5265}{729} = \frac{65}{9} $$

である。

解法2

(3) の別解を示す。

期待値の定義式を変形し、和のずらしを利用して計算を行う。

$$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=1}^{9} k P(X=k) \\ &= \sum_{k=1}^{9} k \{ P(X \leqq k) - P(X \leqq k-1) \} \\ &= \sum_{k=1}^{9} k P(X \leqq k) - \sum_{k=1}^{9} k P(X \leqq k-1) \end{aligned} $$

第2項の和の添字を $j = k-1$ と置き換えると、

$$ \sum_{k=1}^{9} k P(X \leqq k-1) = \sum_{j=0}^{8} (j+1) P(X \leqq j) $$

となる。$P(X \leqq 0) = 0$ であるから、和の範囲を $1$ からに変更し、再び文字を $k$ に直すと、

$$ \sum_{j=1}^{8} (j+1) P(X \leqq j) = \sum_{k=1}^{8} (k+1) P(X \leqq k) $$

と書ける。これを用いて $E(X)$ を整理すると、

$$ \begin{aligned} E(X) &= 9 P(X \leqq 9) + \sum_{k=1}^{8} k P(X \leqq k) - \sum_{k=1}^{8} (k+1) P(X \leqq k) \\ &= 9 P(X \leqq 9) - \sum_{k=1}^{8} P(X \leqq k) \end{aligned} $$

となる。ここで、$P(X \leqq 9) = 1$ であり、(1) より $P(X \leqq k) = \frac{k^3}{729}$ であるから、

$$ E(X) = 9 - \sum_{k=1}^{8} \frac{k^3}{729} = 9 - \frac{1}{729} \left( \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \right)^2 = 9 - \frac{1296}{729} = \frac{6561 - 1296}{729} = \frac{5265}{729} = \frac{65}{9} $$

となり、同じ結果が得られる。

解説

最大値や最小値の確率は、$P(X=k)$ を直接求めるのではなく、$P(X \leqq k)$ や $P(X \geqq k)$ といった累積確率を先に求めてからその差分をとるのが典型的な処理である。本問のように復元抽出を行う場合は、各回の試行が独立であるため非常に立式しやすい。

期待値の計算については、解法1のように展開して定義通りに計算しても十分に現実的な計算量で解くことができるが、解法2で示したようなシグマ計算の工夫（実質的に $\sum_{k=1}^n P(X \geqq k)$ の公式を導出する計算）を知っていると、次数の高いシグマ計算を回避できるため計算ミスを防ぎやすくなる。