北海道大学 1973年 理系 第5問 解説

方針・初手

定積分で表された関数を含む方程式を解く問題である。まずは両辺を $x$ で微分し、$f(x)$ についての微分方程式を導く。その際、定積分 $\int_1^x$ の性質から、$x=1$ を代入することで $f(1)$ の値（初期条件）が得られる。後半は、$y$ 軸まわりの回転体の体積を求めるため、$V = \pi \int x^2 dy$ の公式を利用し、積分計算をミスなく実行する。

解法1

(1)

与えられた等式 $$f(x) = x^2 + 2 + 2\int_1^x tf(t)dt$$ の両辺を $x$ で微分すると、 $$f'(x) = 2x + 2xf(x)$$ $$f'(x) = 2x(1 + f(x))$$

問題文より、$f(x)$ は正の値をとる関数であるから、$1+f(x) > 0$ である。両辺を $1+f(x)$ で割ると、 $$\frac{f'(x)}{1+f(x)} = 2x$$

両辺を $x$ について積分すると、 $$\int \frac{f'(x)}{1+f(x)} dx = \int 2x dx$$ $$\log(1+f(x)) = x^2 + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

また、与式の両辺に $x=1$ を代入すると、$\int_1^1 tf(t)dt = 0$ となるため、 $$f(1) = 1^2 + 2 + 0 = 3$$

これを先ほどの式に代入して積分定数 $C$ を求める。 $$\log(1+3) = 1^2 + C$$ $$C = \log 4 - 1$$

したがって、次のように求まる。 $$\log(1+f(x)) = x^2 + \log 4 - 1$$ $$1+f(x) = e^{x^2 - 1 + \log 4} = e^{\log 4} \cdot e^{x^2 - 1} = 4e^{x^2 - 1}$$ $$f(x) = 4e^{x^2 - 1} - 1$$

(2)

(1) より $y = 4e^{x^2 - 1} - 1$ であるから、これを $x^2$ について解く。 $$y + 1 = 4e^{x^2 - 1}$$ $$\frac{y+1}{4} = e^{x^2 - 1}$$

両辺の自然対数をとると、 $$x^2 - 1 = \log\frac{y+1}{4}$$ $$x^2 = 1 + \log(y+1) - \log 4$$

関数 $y=f(x)$ は $x^2$ のみを含むため偶関数（$y$ 軸対称）である。求める体積 $V$ は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=1, y=3$ に囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積なので、円板法により次のように立式できる。 $$V = \pi \int_1^3 x^2 dy$$ $$V = \pi \int_1^3 \left( 1 - \log 4 + \log(y+1) \right) dy$$

ここで、対数関数の積分は部分積分を用いて計算する。 $$\int_1^3 \log(y+1) dy = \int_1^3 (y+1)'\log(y+1) dy$$ $$= \left[ (y+1)\log(y+1) \right]_1^3 - \int_1^3 (y+1)\cdot \frac{1}{y+1} dy$$ $$= (4\log 4 - 2\log 2) - \int_1^3 1 dy$$ $$= (8\log 2 - 2\log 2) - \left[ y \right]_1^3$$ $$= 6\log 2 - 2$$

これらを体積 $V$ の式に代入する。 $$V = \pi \left[ (1 - \log 4)y \right]_1^3 + \pi (6\log 2 - 2)$$ $$= \pi (3 - 1)(1 - 2\log 2) + \pi (6\log 2 - 2)$$ $$= 2\pi (1 - 2\log 2) + 2\pi (3\log 2 - 1)$$ $$= 2\pi - 4\pi\log 2 + 6\pi\log 2 - 2\pi$$ $$= 2\pi\log 2$$

解説

• (1) は、両辺を微分して微分方程式（変数分離形）を導く典型問題である。両辺を変数で割る際に、$0$ にならないことを明記する必要がある。本問では「$f(x)$ が正の値をとる」という条件が $1+f(x) \neq 0$ の十分な根拠となる。
• (2) は $y$ 軸まわりの回転体であるから、公式 $V = \pi \int x^2 dy$ を用いる。立式したあとは $\log(y+1)$ の積分となるが、$(y+1)'$ が隠れていると見て部分積分を行う定石処理が求められる。

答え

(1) $$f(x) = 4e^{x^2 - 1} - 1$$

(2) $$2\pi\log 2$$