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北海道大学 1993年理系第5問解説

譁ｹ驥昴・蛻晄焔

繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ1譫壹★縺､3蝗槫叙繧雁・縺呎桃菴懊↓縺､縺・※縲∝叙繧雁・縺咎・ｺ上ｒ蛹ｺ蛻･縺吶ｋ鬆・・繧堤畑縺・※蜈ｨ莠玖ｱ｡繧定・∴繧九・ (1)縺ｯ縲∵怙蛻昴↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺励◆繧ｫ繝ｼ繝峨・謨ｰ蟄・$i$ 縺悟崋螳壹＆繧後◆迥ｶ豕∽ｸ九〒縲∵ｮ九ｊ2譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨′ $i$ 縺ｨ蜷後§陦後∪縺溘・蜷後§蛻励°繧蛾∈縺ｰ繧後ｋ遒ｺ邇・ｒ險育ｮ励☆繧九・ (2)縺ｯ縲∫｢ｺ邇・､画焚 $X$ 縺ｮ螳夂ｾｩ縺ｫ蠕薙＞縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap K_i$ 縺ｨ莠玖ｱ｡ $\overline{A} \cap K_i$ 縺ｫ蛻・￠縺ｦ縺昴ｌ縺槭ｌ縺ｮ遒ｺ邇・→蛟､縺ｮ遨阪・邱丞柱繧偵→繧九・

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(1)

3譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ鬆・↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺吝ｴ蜷医・謨ｰ縺ｯ ${}_{25}\mathrm{P}_3 = 25 \cdot 24 \cdot 23$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｊ縲√％繧後ｉ縺ｯ蜷梧ｧ倥↓遒ｺ縺九ｉ縺励＞縲・

莠玖ｱ｡ $A \cap K_i$ 縺ｯ縲√・譫夂岼縺ｫ謨ｰ $i$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ蜿悶ｊ蜃ｺ縺励√°縺､縲∵ｮ九ｊ2譫壹′ $i$ 縺ｨ蜷後§陦後∪縺溘・蜷後§蛻励°繧牙叙繧雁・縺輔ｌ繧九堺ｺ玖ｱ｡縺ｧ縺ゅｋ縲・譚ｿ荳翫・縺ｩ縺ｮ謨ｰ $i$ 繧ゅ√■繧・≧縺ｩ1縺､縺ｮ陦後→縺｡繧・≧縺ｩ1縺､縺ｮ蛻励↓螻槭☆繧九・ 1譫夂岼縺ｫ謨ｰ $i$ 縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨ｒ蜿悶ｊ蜃ｺ縺励◆蠕後∵ｮ九ｊ縺ｮ24譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨°繧峨・$i$ 縺ｨ蜷後§陦後・谿九ｊ4譫壹°繧・譫壹ｒ鬆・↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺吶榊ｴ蜷医・謨ｰ縺ｯ ${}_4\mathrm{P}_2$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・蜷梧ｧ倥↓縲√・$i$ 縺ｨ蜷後§蛻励・谿九ｊ4譫壹°繧・譫壹ｒ鬆・↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺吶榊ｴ蜷医・謨ｰ繧・${}_4\mathrm{P}_2$ 騾壹ｊ縺ｧ縺ゅｋ縲・縺ゅｋ2譫壹・繧ｫ繝ｼ繝峨′縲・$i$ 縺ｨ蜷後§陦後阪°縺､縲・$i$ 縺ｨ蜷後§蛻励阪↓蜷梧凾縺ｫ螻槭☆繧九％縺ｨ縺ｯ荳榊庄閭ｽ縺ｧ縺ゅｋ縺溘ａ縲√％繧後ｉ2縺､縺ｮ莠玖ｱ｡縺ｯ莠偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｧ縺ゅｋ縲・縺励◆縺後▲縺ｦ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap K_i$ 縺ｨ縺ｪ繧句叙繧雁・縺玲婿縺ｯ $$ 1 \times ({}_4\mathrm{P}_2 + {}_4\mathrm{P}_2) = 12 + 12 = 24 \text{ 騾壹ｊ} $$

繧医▲縺ｦ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A \cap K_i$ 縺ｮ襍ｷ縺薙ｋ遒ｺ邇・・ $$ P(A \cap K_i) = \frac{24}{25 \cdot 24 \cdot 23} = \frac{1}{25 \cdot 23} = \frac{1}{575} $$

縺薙ｌ縺ｯ $i$ 縺ｮ蛟､縺ｫ繧医ｉ縺壻ｸ螳壹〒縺ゅｋ縲・莠玖ｱ｡ $A$ 縺ｯ縲∽ｺ偵＞縺ｫ謗貞渚縺ｪ莠玖ｱ｡ $A \cap K_1, A \cap K_2, \dots, A \cap K_{25}$ 縺ｮ蜥御ｺ玖ｱ｡縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・ $$ P(A) = \sum_{i=1}^{25} P(A \cap K_i) = 25 \cdot \frac{1}{575} = \frac{1}{23} $$

(2)

遒ｺ邇・､画焚 $X$ 縺ｮ縺ｨ繧雁ｾ励ｋ蛟､縺ｯ縲∵怙蛻昴↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺励◆繧ｫ繝ｼ繝峨・謨ｰ繧・$i$ ($1 \leqq i \leqq 25$) 縺ｨ縺吶ｋ縺ｨ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 縺瑚ｵｷ縺薙▲縺溘→縺阪・ $i^2$ 縲∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 縺瑚ｵｷ縺薙ｉ縺ｪ縺九▲縺滂ｼ井ｺ玖ｱ｡ $\overline{A}$ 縺瑚ｵｷ縺薙▲縺滂ｼ峨→縺阪・ $i$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・蜷・$i$ 縺ｫ蟇ｾ縺励※縲・X = i^2$ 縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｯ $A \cap K_i$ 縺ｧ縺ゅｊ縲・X = i$ 縺ｨ縺ｪ繧倶ｺ玖ｱ｡縺ｯ $\overline{A} \cap K_i$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・

莠玖ｱ｡ $K_i$ 縺ｮ襍ｷ縺薙ｋ遒ｺ邇・・ $P(K_i) = \frac{1}{25}$ 縺ｧ縺ゅｋ縲・莠玖ｱ｡ $A \cap K_i$ 縺ｨ莠玖ｱ｡ $\overline{A} \cap K_i$ 縺ｯ謗貞渚縺ｧ縺ゅｊ縲√◎縺ｮ蜥御ｺ玖ｱ｡縺ｯ $K_i$ 縺ｧ縺ゅｋ縺九ｉ縲・ $$ P(\overline{A} \cap K_i) = P(K_i) - P(A \cap K_i) = \frac{1}{25} - \frac{1}{575} = \frac{23 - 1}{575} = \frac{22}{575} $$

譛溷ｾ・､ $E(X)$ 縺ｯ縲∝推 $i$ 縺ｫ縺､縺・※縺ｮ譛溷ｾ・､縺ｮ蜥後→縺励※險育ｮ励〒縺阪ｋ縲・ $$ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{i=1}^{25} \left\{ i^2 P(A \cap K_i) + i P(\overline{A} \cap K_i) \right\} \\ &= \sum_{i=1}^{25} \left( i^2 \cdot \frac{1}{575} + i \cdot \frac{22}{575} \right) \\ &= \frac{1}{575} \sum_{i=1}^{25} (i^2 + 22i) \end{aligned} $$

縺薙％縺ｧ縲∝柱縺ｮ蜈ｬ蠑上ｈ繧・ $$ \sum_{i=1}^{25} i^2 = \frac{1}{6} \cdot 25 \cdot 26 \cdot (2 \cdot 25 + 1) = \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 25 \cdot 13 \cdot 17 = 5525 $$ $$ \sum_{i=1}^{25} i = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 26 = 25 \cdot 13 = 325 $$

縺薙ｌ繧峨ｒ莉｣蜈･縺励※縲・ $$ \begin{aligned} E(X) &= \frac{1}{575} (5525 + 22 \cdot 325) \\ &= \frac{5525 + 7150}{575} \\ &= \frac{12675}{575} \end{aligned} $$

蛻・ｯ阪→蛻・ｭ舌ｒ $25$ 縺ｧ蜑ｲ繧九→縲・ $$ E(X) = \frac{507}{23} $$

隗｣隱ｬ

(1)縺ｫ縺翫＞縺ｦ縲∽ｺ玖ｱ｡ $A$ 繧偵・譫夂岼縺ｮ繧ｫ繝ｼ繝峨阪ｒ蝓ｺ貅悶↓縺励※謨ｴ逅・☆繧九％縺ｨ縺梧怙螟ｧ縺ｮ繝昴う繝ｳ繝医〒縺ゅｋ縲ゅ≠繧・縺､縺ｮ繝槭せ繧呈ｱｺ繧√◆縺ｨ縺阪∝酔縺倩｡後∪縺溘・蛻励↓蜷ｫ縺ｾ繧後ｋ繝槭せ縺ｯ蜊∵枚蟄怜梛縺ｫ蠎・′繧九◆繧√∵ｮ九ｊ2譫壹・驕ｸ縺ｳ譁ｹ縺梧賜蜿阪↑2縺､縺ｮ莠玖ｱ｡縺ｫ邯ｺ鮗励↓蛻・°繧後ｋ縲・蜈ｨ莠玖ｱ｡繧堤ｵ・粋縺幢ｼ・${}_{25}\mathrm{C}_{3}$ ・峨〒險育ｮ励☆繧九％縺ｨ繧ょ庄閭ｽ縺ｧ縺ゅｋ縺後√梧怙蛻昴↓蜿悶ｊ蜃ｺ縺励◆繧ｫ繝ｼ繝峨阪ｒ迚ｹ蛻･隕悶☆繧句撫鬘瑚ｨｭ螳壹〒縺ゅｋ縺溘ａ縲・・・縺ｧ謇ｱ縺・婿驥昴ｒ縺ｨ繧九→遒ｺ邇・､画焚縺ｮ險育ｮ励∪縺ｧ荳雋ｫ縺励◆隲也炊縺ｧ騾ｲ繧√ｋ縺薙→縺後〒縺阪ｋ縲・ (2)縺ｯ譛溷ｾ・､縺ｮ螳夂ｾｩ蠑上ｒ豁｣遒ｺ縺ｫ遶九※縲∵焚蛻励・蜥後・蜈ｬ蠑上ｒ逕ｨ縺・※險育ｮ励＠縺阪ｋ蜉帙′豎ゅａ繧峨ｌ繧九・