北海道大学 1980年 理系 第4問 解説

方針・初手

(1) については、各 $a_i$ が $1, 2, 3$ のいずれかの値しかとらないことに着目します。それぞれの値をとる変数の個数を文字でおき、個数についての連立方程式を立てるのが定石です。

(2) については、$a_i$ が方程式 $(t-1)(t-2)(t-3)=0$ の解であることを利用し、高次の項を低次の項に下げる（次数下げ）手法を用います。

解法1

(1)

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ のうち、値が $1, 2, 3$ であるものの個数をそれぞれ $p, q, r$ とおく。ここで、$p, q, r$ は $0$ 以上の整数である。

変数の総数は $6$ 個であるから、

$$ p + q + r = 6 $$

また、その和が $12$ であるから、

$$ p + 2q + 3r = 12 $$

下の式から上の式を引くと、

$$ q + 2r = 6 $$

これより $q = 6 - 2r$ を得る。$q \ge 0$ であるから $6 - 2r \ge 0$ となり、$r \le 3$ である。$r$ は $0$ 以上の整数であるため、$r = 0, 1, 2, 3$ のいずれかである。

一方、$p = 6 - q - r = 6 - (6 - 2r) - r = r$ となる。

求める式を $S$ とおくと、

$$ S = a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + a_4^3 + a_5^3 + a_6^3 $$

これはそれぞれの値の3乗に個数を掛けたものの和となるので、

$$ S = 1^3 \cdot p + 2^3 \cdot q + 3^3 \cdot r = p + 8q + 27r $$

ここに $p = r$ と $q = 6 - 2r$ を代入する。

$$ S = r + 8(6 - 2r) + 27r $$

$$ S = r + 48 - 16r + 27r = 48 + 12r $$

$S$ は $r$ の増加とともに大きくなる。$r$ のとりうる最大の値は $3$ であるため、$S$ は $r = 3$ のとき最大となる。

このとき、$p = 3$、$q = 0$ となり、$p, q, r$ が $0$ 以上の整数であるという条件を満たす。

最大値は、

$$ 48 + 12 \cdot 3 = 84 $$

(2)

各 $a_i \ (i = 1, 2, \cdots, 6)$ は $1, 2, 3$ のいずれかの値をとるので、次の方程式を満たす。

$$ (a_i - 1)(a_i - 2)(a_i - 3) = 0 $$

左辺を展開すると、

$$ a_i^3 - 6a_i^2 + 11a_i - 6 = 0 $$

移項して次数を下げる形にすると、

$$ a_i^3 = 6a_i^2 - 11a_i + 6 $$

両辺に $a_i$ をかけると、

$$ a_i^4 = 6a_i^3 - 11a_i^2 + 6a_i $$

この式の両辺について、$i = 1$ から $6$ までの和をとる。

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^4 = 6 \sum_{i=1}^{6} a_i^3 - 11 \sum_{i=1}^{6} a_i^2 + 6 \sum_{i=1}^{6} a_i $$

ここで、問題の条件から以下が成り立っている。

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i = 12 $$

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^2 = x $$

また、$a_i^3 = 6a_i^2 - 11a_i + 6$ の両辺について和をとると、

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^3 = 6 \sum_{i=1}^{6} a_i^2 - 11 \sum_{i=1}^{6} a_i + \sum_{i=1}^{6} 6 $$

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^3 = 6x - 11 \cdot 12 + 6 \cdot 6 = 6x - 96 $$

これらを4乗の和の式に代入する。

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^4 = 6(6x - 96) - 11x + 6 \cdot 12 $$

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^4 = 36x - 576 - 11x + 72 $$

$$ \sum_{i=1}^{6} a_i^4 = 25x - 504 $$

問題より、これが $kx + l$ と等しくなるように定数 $k, l$ を定めるので、

$$ kx + l = 25x - 504 $$

係数を比較して、

$$ k = 25, \quad l = -504 $$

解法2

(1) の別解

和が $12$ に固定されている条件のもとで、3乗の和を最大化することを考える。

いま、$a_1, \dots, a_6$ の中に値が $2$ であるものが $2$ つ含まれているとする。これらをそれぞれ $1$ と $3$ に置き換えても、和は $1 + 3 = 2 + 2 = 4$ であり、全体の和は変わらない。

このとき、これらの3乗の和の増減を調べると、

$$ 2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 $$

$$ 1^3 + 3^3 = 1 + 27 = 28 $$

となり、$16 < 28$ であるから、$2$ を $2$ つ選んで $1$ と $3$ のペアに置き換える操作を行うことで、全体の3乗の和を必ず大きくすることができる。

この操作を可能な限り繰り返すと、値が $2$ であるものの個数は $0$ 個または $1$ 個になる。

(i) $2$ が $0$ 個の場合

残りの $6$ 個の変数はすべて $1$ または $3$ である。$3$ の個数を $r$ 個とすると、$1$ の個数は $6-r$ 個となる。 和が $12$ であるから、

$$ 1 \cdot (6 - r) + 3 \cdot r = 12 $$

$$ 6 + 2r = 12 \iff 2r = 6 \iff r = 3 $$

したがって、$1$ が $3$ 個、$3$ が $3$ 個の場合であり、和の条件を満たす。 このとき、3乗の和は、

$$ 1^3 \cdot 3 + 3^3 \cdot 3 = 3 + 81 = 84 $$

(ii) $2$ が $1$ 個の場合

残りの $5$ 個の変数はすべて $1$ または $3$ である。$3$ の個数を $r$ 個とすると、$1$ の個数は $5-r$ 個となる。 和が $12$ であるから、

$$ 2 + 1 \cdot (5 - r) + 3 \cdot r = 12 $$

$$ 7 + 2r = 12 \iff 2r = 5 $$

$r$ は整数であるため、これを満たす $r$ は存在しない。

以上より、3乗の和の最大値は $84$ となる。

解説

(1) は離散的な変数の最適化問題です。とりうる値が少ないため、値ごとの個数を文字で設定することで、整数を係数とする簡単な連立方程式に帰着できます。別解のように、平均的な値を極端な値に分散させることで高次の和が大きくなるという凸関数の性質（あるいは直感的な大小関係）を利用したアプローチも有効です。

(2) は「解と係数の関係」や「剰余の定理」の応用としてよく見られる、方程式を用いた次数下げの典型的な解法です。値が特定の数に限られているという条件を、その数を解に持つ多項式方程式に翻訳できるかがポイントです。

答え

(1) $84$

(2) $k = 25, \quad l = -504$