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北海道大学 2009年文系第2問解説

方針・初手

領域 $D$ の上下の境界を表す式を求め、ある $x=k$ における格子点の個数 $f(k)$ を立式する。直線 $x=k$ 上の格子点の個数は、「(上の境界の $y$ 座標) $-$ (下の境界の $y$ 座標) $+ 1$」で計算できる。その後、数列の和の公式を用いて総数を求め、最後に整数を定義域とする2次関数の最大値問題として処理する。

解法1

(1) 点 $O(0,0)$ と点 $P(n, 3n^2 - 6n)$ を結ぶ線分 $OP$ を含む直線の方程式を求める。この直線の傾きは、

$$ \frac{3n^2 - 6n - 0}{n - 0} = 3n - 6 $$

であるから、直線 $OP$ の方程式は $y = (3n - 6)x$ である。次に、$0 \leqq x \leqq n$ において、放物線 $C: y = 3x^2 - 6x$ と直線 $OP$ の上下関係を調べる。

$$ (3n - 6)x - (3x^2 - 6x) = -3x^2 + 3nx = -3x(x - n) $$

$0 \leqq x \leqq n$ の範囲において $x \geqq 0$ かつ $x - n \leqq 0$ であるため、$-3x(x - n) \geqq 0$ となる。したがって、この区間では直線 $OP$ が放物線 $C$ の上側（または境界上）にある。領域 $D$ は境界を含むため、直線 $x = k$ ($0 \leqq k \leqq n$ を満たす整数) 上にあり、$D$ に含まれる点の $y$ 座標は、

$$ 3k^2 - 6k \leqq y \leqq (3n - 6)k $$

を満たす。 $k$ は整数であり、境界の $y$ 座標である $3k^2 - 6k$ と $(3n - 6)k$ もともに整数である。よって、この範囲に含まれる整数 $y$ の個数 $f(k)$ は、

$$ \begin{aligned} f(k) &= (3n - 6)k - (3k^2 - 6k) + 1 \\ &= -3k^2 + 3nk + 1 \end{aligned} $$

となる。

(2) 領域 $D$ に含まれる格子点の総数は、$k$ を $0$ から $n$ まで動かしたときの $f(k)$ の総和、すなわち $\sum_{k=0}^{n} f(k)$ で求められる。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} f(k) &= \sum_{k=0}^{n} (-3k^2 + 3nk + 1) \\ &= f(0) + \sum_{k=1}^{n} (-3k^2 + 3nk + 1) \\ &= 1 - 3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 3n \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + n \\ &= 1 - \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) + \frac{3}{2}n^2(n+1) + n \\ &= 1 + \frac{1}{2}n(n+1) \{ -(2n+1) + 3n \} + n \\ &= 1 + \frac{1}{2}n(n+1)(n-1) + n \\ &= 1 + \frac{1}{2}(n^3 - n) + n \\ &= \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{2}n + 1 \\ &= \frac{n^3 + n + 2}{2} \end{aligned} $$

(3) (1)より、$f(k) = -3k^2 + 3nk + 1$ である。これを $k$ について平方完成すると、

$$ f(k) = -3 \left( k - \frac{n}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}n^2 + 1 $$

となる。 $f(k)$ は $k$ の2次関数と見なすことができ、そのグラフは上に凸で、頂点の横座標（軸）は $k = \frac{n}{2}$ である。 $k$ は $0 \leqq k \leqq n$ を満たす整数であるから、$f(k)$ が最大となるのは、$k$ が軸 $\frac{n}{2}$ に最も近い整数のときである。自然数 $n$ の偶奇によって場合分けを行う。

(i) $n$ が偶数のとき

$\frac{n}{2}$ は整数となるため、$k = \frac{n}{2}$ のとき $f(k)$ は最大となる。この値は条件 $0 \leqq k \leqq n$ を満たしている。

(ii) $n$ が奇数のとき

$\frac{n}{2}$ は整数にならず、$\frac{n}{2}$ に最も近い整数は $\frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n-1}{2}$ と $\frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}$ の2つである。放物線の対称性により、これら2つの $k$ の値に対する $f(k)$ の値は等しく、ともに最大値を与える。これらの値は条件 $0 \leqq k \leqq n$ を満たしている。

以上より、求める $k$ は、 $n$ が偶数のとき $k = \frac{n}{2}$ $n$ が奇数のとき $k = \frac{n-1}{2}, \frac{n+1}{2}$ となる。