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北海道大学 1987年理系第5問解説

方針・初手

1回の試行において事象 $A$ が起こる確率を求めることがすべての基礎となる。3個のサイコロを区別して目の出方を考え、「連続した3つの自然数」となる組み合わせとその並べ方を数え上げる。その後は、反復試行の確率、余事象の確率と対数不等式の計算、および二項分布の期待値といった独立した小問を順に処理していく。

解法1

まず、1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を求める。 3個のサイコロを区別して考えると、目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りある。このうち、目が連続した3つの自然数となる組み合わせは、以下の4通りである。

$$ \{1, 2, 3\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}, \{4, 5, 6\} $$

それぞれの組み合わせに対して、3個のサイコロへの目の割り当て方は $3! = 6$ 通りずつ存在する。したがって、事象 $A$ が起こる場合の数は、

$$ 4 \times 6 = 24 \text{ 通り} $$

となる。ゆえに、1回の試行で事象 $A$ が起こる確率 $p$ は、

$$ p = \frac{24}{216} = \frac{1}{9} $$

また、事象 $A$ が起こらない確率は、

$$ 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $$

である。

(1)

$n$ 回目に初めて事象 $A$ が起こるのは、$1$ 回目から $n-1$ 回目までの $n-1$ 回は連続して事象 $A$ が起こらず、$n$ 回目に事象 $A$ が起こる場合である。試行はそれぞれ独立であるから、求める確率は、

$$ \left(\frac{8}{9}\right)^{n-1} \times \frac{1}{9} = \frac{8^{n-1}}{9^n} $$

(2)

1回目から $n$ 回目までの試行のうちに事象 $A$ が少なくとも1回起こる確率を $P_n$ とする。これは、「$n$ 回とも事象 $A$ が起こらない」という事象の余事象であるから、

$$ P_n = 1 - \left(\frac{8}{9}\right)^n $$

この確率が $0.5$ 以上となるので、

$$ 1 - \left(\frac{8}{9}\right)^n \geqq 0.5 $$

これを変形して、

$$ \left(\frac{8}{9}\right)^n \leqq 0.5 $$

両辺の常用対数をとる。底の $10$ は $1$ より大きいので、不等号の向きは変わらない。

$$ \log_{10} \left(\frac{8}{9}\right)^n \leqq \log_{10} \frac{1}{2} $$

$$ n (\log_{10} 2^3 - \log_{10} 3^2) \leqq \log_{10} 1 - \log_{10} 2 $$

$$ n (3 \log_{10} 2 - 2 \log_{10} 3) \leqq -\log_{10} 2 $$

ここで、与えられた $\log_{10} 2 = 0.301$, $\log_{10} 3 = 0.477$ を代入すると、

$$ n (3 \times 0.301 - 2 \times 0.477) \leqq -0.301 $$

$$ n (0.903 - 0.954) \leqq -0.301 $$

$$ -0.051 n \leqq -0.301 $$

両辺を $-0.051$ で割ると、負の数で割るため不等号の向きが逆転し、

$$ n \geqq \frac{0.301}{0.051} = \frac{301}{51} $$

$\frac{301}{51} = 5.901\dots$ であり、$n$ は自然数であるから、これを満たす最小の $n$ は $6$ である。

(3)

1回の試行で事象 $A$ が起こる確率は $\frac{1}{9}$ であり、これを4回繰り返す。事象 $A$ が起こる回数 $X$ は、二項分布 $B\left(4, \frac{1}{9}\right)$ に従う。したがって、$X$ の期待値 $E(X)$ は、公式 $E(X) = np$ より、

$$ E(X) = 4 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9} $$

解説

反復試行の確率に関する標準的な問題である。最初に行う「1回の試行の確率」の計算を間違えると全滅してしまうため、組み合わせと順列の違いに注意して正確に数え上げることが重要である。 (1)は「初めて起こる」確率の典型的な立式である。 (2)の「少なくとも1回」は余事象を考えるのが定石であり、指数に未知数 $n$ が含まれる不等式は対数をとって解く。近似値の計算ミスや、負の数で割る際の不等号の反転に注意したい。 (3)は確率変数の期待値を求める問題だが、反復試行の回数と確率がわかっているため、二項分布の期待値の公式を用いるのが最も効率的である。期待値の定義に従ってすべての確率を計算し和をとる手法でも同じ結果が得られるが、計算量が増えるため実践的ではない。