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北海道大学 1994年理系第1問解説

方針・初手

行列 $A$ の成分を文字でおき、問題文で与えられた3つの条件を数式に翻訳して成分を絞り込む。具体的には、「$x$ 軸を $x$ 軸に移す」という条件から成分の一部が $0$ になることを示し、「格子点を格子点に移す」という条件から各成分が整数であることを導く。最後に「正方形の像の面積が $1$」という条件と行列式の絶対値の関係を用いて、成分の値を決定していく。

解法1

1次変換 $f$ を表す行列 $A$ を次のように定める。

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

$f$ は $x$ 軸を $x$ 軸に移すので、$x$ 軸上の点 $(1, 0)$ の像も $x$ 軸上にある。

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} $$

この点の $y$ 座標は $0$ であるから、$c = 0$ が成り立つ。

次に、$f$ は格子点を格子点に移すので、格子点 $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の像を考える。

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} $$

これらの像も格子点であるため、$a, b, d$ はすべて整数でなければならない。

さらに、原点 $O(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)$ を頂点とする正方形の面積は $1$ である。1次変換による図形の面積の拡大率は行列式の絶対値 $|\det A|$ に等しい。像の面積が $1$ であるという条件より、以下の等式が成り立つ。

$$ |\det A| = |ad - bc| = |ad - 0 \cdot b| = |ad| = 1 $$

$a, d$ は整数であるから、積 $ad$ が $1$ または $-1$ となる。考えられる整数の組 $(a, d)$ は以下の4通りである。

$$ (a, d) = (1, 1), (-1, -1), (1, -1), (-1, 1) $$

ここで、求める $A^2$ を計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & ab + bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & b(a+d) \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} $$

上記の $(a, d)$ の4つの場合について、$A^2$ の成分を評価する。いずれの場合も $a^2 = 1$ かつ $d^2 = 1$ となる。

(i) $(a, d) = (1, 1)$ のとき

$a+d = 2$ より

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

(ii) $(a, d) = (-1, -1)$ のとき

$a+d = -2$ より

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

(iii) $(a, d) = (1, -1)$ のとき

$a+d = 0$ より

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

(iv) $(a, d) = (-1, 1)$ のとき

$a+d = 0$ より

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$b$ は任意の整数であるから、(i) および (ii) における $(1, 2)$ 成分 $2b$ および $-2b$ は、任意の偶数を表す。また、(iii) および (iv) の場合の行列は、(i) または (ii) の行列において $b=0$ とした場合に含まれる。

したがって、$n$ を整数として、$A^2$ は次のように1つの形で表すことができる。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

解説

行列の成分を決定する問題において、与えられた幾何学的な条件をいかに代数的に翻訳するかが問われている。特に「格子点を格子点に移す」という条件から、変換の基底ベクトル $(1, 0)$ と $(0, 1)$ の像を考えることで、行列のすべての成分が整数になることを素早く導くのが定石である。また、1次変換による面積の拡大率が行列式の絶対値になるという性質を利用することで、計算量を大きく減らすことができる。場合分けの最後で、異なるパターンの結果を1つの文字を用いて一般化してまとめる処理も重要である。