東京工業大学 1977年 理系 第7問 解説

方針・初手

与えられた行列は複素数平面における「原点周りの回転と拡大」を表すことに着目する。 行列 $A(r, \theta) = \begin{pmatrix} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$ とおくと、$A(r_1, \theta_1)A(r_2, \theta_2) = A(r_1 r_2, \theta_1+\theta_2)$ が成り立つ。 $S$ が要素数3の有限集合であり、積について閉じていることから、ある要素を繰り返し掛け合わせるといずれ同じ要素に戻る（巡回する）という性質を利用する。

解法1

$A(r, \theta) = \begin{pmatrix} r\cos\theta & -r\sin\theta \\ r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$ とおく。

任意の $r_1, r_2 > 0$ と $\theta_1, \theta_2$ に対して、行列の積を計算すると以下のようになる。

$$ A(r_1, \theta_1) A(r_2, \theta_2) = r_1 r_2 \begin{pmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 \end{pmatrix} $$

三角関数の加法定理を用いると、

$$ A(r_1, \theta_1) A(r_2, \theta_2) = r_1 r_2 \begin{pmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix} = A(r_1 r_2, \theta_1+\theta_2) \cdots (*) $$

が成り立つ。

(1)

$A(r, \theta) \in S$ とする。

条件より、$S$ の任意の行列の積は $S$ に属するため、任意の自然数 $n$ について $A(r, \theta)^n \in S$ である。 式 $(*)$ を繰り返し用いると、

$$ A(r, \theta)^n = A(r^n, n\theta) $$

となる。 $S$ は相異なる3個の行列からなる有限集合であるから、4つの行列 $A(r, \theta)^1, A(r, \theta)^2, A(r, \theta)^3, A(r, \theta)^4$ の中には少なくとも1組、同一の行列が存在する。 よって、ある自然数 $k, m$ ($k < m$) が存在して、

$$ A(r^k, k\theta) = A(r^m, m\theta) $$

が成り立つ。 2つの行列が等しいとき、その行列式も等しい。行列 $A(r, \theta)$ の行列式は $r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2$ であるから、両辺の行列式をとると、

$$ r^{2k} = r^{2m} $$

$r > 0$ であるから、$r^k = r^m$ が成り立つ。 $k < m$（すなわち $k \neq m$）であるから、$r = 1$ である。

(2)

（1） の結果より、$S$ に属する行列はすべて $r=1$ である。すなわち、単位行列を $E$ とすると、$A(1, \theta)$ は回転行列であり、逆行列をもつ。 （1） と同様の議論により、$S$ に属する任意の行列 $A$ に対して、$A^k = A^m$ ($k < m$) となる自然数が存在する。両辺に逆行列 $A^{-1}$ を $k$ 回掛けると $A^{m-k} = E$ となる。 $S$ は積について閉じているので $A^{m-k} \in S$ であり、ゆえに $E \in S$ である。

$S$ は相異なる3個の行列からなるので、$E$ とは異なる行列 $A \in S$ が存在する。 $A, A^2, A^3$ を考えると、条件よりこれらもすべて $S$ の要素である。

ここで、$A^2 = E$ と仮定する。 このとき $S$ の要素は $E, A$ ともう1つの行列 $B$ となる（$S = \{E, A, B\}$）。 条件より積 $A B \in S$ であるが、 ・$A B = E$ ならば、両辺の左から $A$ を掛けて $A^2 B = A$。$A^2=E$ より $B = A$ となり、互いに異なる要素であることに矛盾する。 ・$A B = A$ ならば、両辺の左から $A^{-1}$ を掛けて $B = E$ となり矛盾する。 ・$A B = B$ ならば、両辺の右から $B^{-1}$ を掛けて $A = E$ となり矛盾する。 いずれの場合も矛盾が生じるため、$A^2 \neq E$ である。

また、$A^2 = A$ ならば $A = E$ となり矛盾するため、$A^2 \neq A$ も成り立つ。 したがって、$E, A, A^2$ はすべて相異なる3つの行列であり、$S = \{E, A, A^2\}$ と確定する。

このとき、$A^3 \in S$ であるから、$A^3$ は $E, A, A^2$ のいずれかである。 $A^3 = A$ とすると $A^2 = E$ となり矛盾。 $A^3 = A^2$ とすると $A = E$ となり矛盾。 したがって、$A^3 = E$ でなければならない。

$A = A(1, \theta)$ ($0 < \theta < 2\pi$) とおく。

$$ A^3 = A(1, 3\theta) = \begin{pmatrix} \cos 3\theta & -\sin 3\theta \\ \sin 3\theta & \cos 3\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

これより $\cos 3\theta = 1$ かつ $\sin 3\theta = 0$ であるから、$3\theta = 2n\pi$ ($n$ は整数) となる。 $0 < \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ を得る。

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき、

$$ A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} $$

$\theta = \frac{4\pi}{3}$ のとき、上記2つの行列が入れ替わるだけであり、得られる集合 $S$ としては同一となる。

解説

行列の積が「複素数平面上の回転と拡大」と対応していることに気付くかが最初のポイントである。 有限集合が演算について閉じているという条件から、「ある要素の累乗を考えると、要素数が有限である以上必ずいつかは同じ要素に戻る（鳩の巣原理）」という発想を用いると、見通しよく $r=1$ や単位行列 $E$ の存在を導くことができる。 後半は、抽象代数学（群論）における「位数3の群は巡回群に限られる」という事実を背景とした議論であるが、高校数学の範囲で説明するために背理法を用いて丁寧に場合分けして矛盾を導く力が求められる。

答え

(1)

$r = 1$

(2)

$$ S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \right\} $$