北海道大学 1995年 理系 第1問 解説

方針・初手

与えられた2点 $(1, 2)$ と $(-2, 1)$ の移動条件を、行列 $A$ を用いた方程式として立式する。

点 $Q$ は点 $P$ を原点周りに $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転した位置にあるため、点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表すことができる。この2つの場合について、それぞれ逆行列を用いて $A$ を決定する。

解法1

(1)

変換前の2点を位置ベクトルとして $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$、$\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ とおく。

$f$ を表す行列 $A$ によるこれらの像をそれぞれ $\vec{p}, \vec{q}$ とすると、条件より

$$ \vec{p} = \begin{pmatrix} a \\ 1-a \end{pmatrix} $$

$$ A \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{p} & \vec{q} \end{pmatrix} $$

行列 $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式は $1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 5 \neq 0$ であるため逆行列をもち、

$$ A = \begin{pmatrix} \vec{p} & \vec{q} \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$

となる。

条件 $\angle POQ = 90^\circ$ かつ $OP = OQ$ より、$\vec{q}$ は $\vec{p}$ を原点周りに $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転したベクトルである。

(i) $\vec{q}$ が $\vec{p}$ を $90^\circ$ 回転したベクトルである場合

$$ \vec{q} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-1 \\ a \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} A &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} a & a-1 \\ 1-a & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} a - 2(a-1) & 2a + (a-1) \\ 1-a - 2a & 2(1-a) + a \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -a+2 & 3a-1 \\ -3a+1 & -a+2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

(ii) $\vec{q}$ が $\vec{p}$ を $-90^\circ$ 回転したベクトルである場合

$$ \vec{q} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-a \\ -a \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} A &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} a & 1-a \\ 1-a & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} a - 2(1-a) & 2a + (1-a) \\ 1-a - 2(-a) & 2(1-a) - a \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3a-2 & a+1 \\ a+1 & -3a+2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

(2)

1次変換 $f$ が回転となるとき、行列 $A$ は $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ の形で表され、その行列式の値は $1$ である。

(1) の各場合について調べる。

(i) の行列について

行列 $A$ は $\begin{pmatrix} X & -Y \\ Y & X \end{pmatrix}$ の形を満たしており、回転と相似拡大の合成変換を表している。これが純粋な回転変換となるための条件は、行列式の値が $1$ となることである。

$$ \det A = \left( \frac{-a+2}{5} \right)^2 + \left( \frac{-3a+1}{5} \right)^2 = 1 $$

$$ (-a+2)^2 + (-3a+1)^2 = 25 $$

$$ (a^2 - 4a + 4) + (9a^2 - 6a + 1) = 25 $$

$$ 10a^2 - 10a - 20 = 0 $$

$$ a^2 - a - 2 = 0 $$

$$ (a-2)(a+1) = 0 $$

よって、$a = 2, -1$ である。

$a = 2$ のとき

$$ A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

$a = -1$ のとき

$$ A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

(ii) の行列について

行列式の値を計算すると、

$$ \begin{aligned} \det A &= \frac{1}{25} \left\{ (3a-2)(-3a+2) - (a+1)^2 \right\} \\ &= \frac{1}{25} (-9a^2 + 12a - 4 - a^2 - 2a - 1) \\ &= \frac{1}{25} (-10a^2 + 10a - 5) \\ &= -\frac{1}{5} (2a^2 - 2a + 1) \\ &= -\frac{1}{5} \left\{ 2 \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \right\} \end{aligned} $$

実数 $a$ に対して常に $\det A < 0$ となる。回転行列の行列式は $1$ でなければならないため、この行列が回転を表すことはない。

したがって、条件を満たす $A$ は (i) から得られたもののみである。

解説

行列を求める際、$\vec{v}_1, \vec{v}_2$ とその像 $\vec{p}, \vec{q}$ を用いて $A(\vec{v}_1 \ \vec{v}_2) = (\vec{p} \ \vec{q})$ とまとめて立式し、逆行列を掛ける手法が最も簡明です。

「$\angle POQ$ は直角で、線分 $OP$ と $OQ$ の長さは等しい」という条件から、$90^\circ$ 回転と $-90^\circ$ 回転の2パターンの場合分けが漏れなく必要になります。また、(2)において行列が回転を表すための条件として、行列式の値が $1$ であること（または各成分の平方和の条件）を利用すると、(ii) の不適をすっきりと示すことができます。

答え

(1)

$$ A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -a+2 & 3a-1 \\ -3a+1 & -a+2 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3a-2 & a+1 \\ a+1 & -3a+2 \end{pmatrix} $$

(2)

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$