北海道大学 1992年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) では、原点 $O$、点 $P$、点 $Q$ が同一直線上にあるという条件を数式で表す。点 $P$ は円上の点であるため原点ではなく、点 $Q$ は $P$ の実数倍のベクトルとして表せる。すなわち $Q = kP$（$k$ は実数）とおけ、これは $P$ の位置ベクトルが行列 $A$ の固有ベクトルであることを示している。

(2) では、(1) で求めた固有ベクトルを基底として用い、与えられた点 $(2, 2)$ の位置ベクトルをそれらの線形結合で表すことで、$n$ 乗の計算を容易に行う。

解法1

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。$P$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点であるから、

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

であり、特に $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

点 $Q$ は点 $P$ の $f$ による像であるから、その位置ベクトルは $A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と表される。 原点 $O$、点 $P$、点 $Q$ を通る直線が存在し、$P \neq O$ であることから、実数 $k$ を用いて

$$ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

と表すことができる。これは、

$$ (A - kI) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

を意味する（ただし、$I$ は単位行列）。 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、行列 $A - kI$ は逆行列をもたない。したがって、その行列式は $0$ である。

$$ \det(A - kI) = 0 $$

成分で計算すると、

$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} \frac{4}{3} - k & 1 \\ -\frac{7}{3} & -2 - k \end{pmatrix} &= \left( \frac{4}{3} - k \right) ( -2 - k ) - 1 \cdot \left( -\frac{7}{3} \right) \\ &= k^2 + \frac{2}{3}k - \frac{8}{3} + \frac{7}{3} \\ &= k^2 + \frac{2}{3}k - \frac{1}{3} \end{aligned} $$

よって、特性方程式は

$$ k^2 + \frac{2}{3}k - \frac{1}{3} = 0 $$

両辺を $3$ 倍して

$$ 3k^2 + 2k - 1 = 0 $$

$$ (3k - 1)(k + 1) = 0 $$

ゆえに、$k = \frac{1}{3}, -1$ を得る。

(i) $k = \frac{1}{3}$ のとき

$$ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

両辺を $3$ 倍して整理すると、

$$ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \begin{cases} 4x + 3y = x \\ -7x - 6y = y \end{cases} $$

これらはともに $y = -x$ を表す。 これを $x^2 + y^2 = 1$ に代入して、

$$ x^2 + (-x)^2 = 1 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$y = -x$ より、求める点 $P$ の座標は

$$ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right), \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$

(ii) $k = -1$ のとき

$$ A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

両辺を $3$ 倍して整理すると、

$$ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -7 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x \\ -3y \end{pmatrix} $$

$$ \begin{cases} 4x + 3y = -3x \\ -7x - 6y = -3y \end{cases} $$

これらはともに $7x + 3y = 0$、すなわち $y = -\frac{7}{3}x$ を表す。 これを $x^2 + y^2 = 1$ に代入して、

$$ x^2 + \left( -\frac{7}{3}x \right)^2 = 1 $$

$$ x^2 + \frac{49}{9}x^2 = 1 $$

$$ \frac{58}{9}x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \frac{3}{\sqrt{58}} $$

$y = -\frac{7}{3}x$ より、求める点 $P$ の座標は（複号同順として）

$$ \left( \frac{3}{\sqrt{58}}, -\frac{7}{\sqrt{58}} \right), \left( -\frac{3}{\sqrt{58}}, \frac{7}{\sqrt{58}} \right) $$

以上より、求める点 $P$ はこれら4点である。

(2)

(1) の結果から、行列 $A$ の固有ベクトルとして以下の2つをとることができる。

固有値 $\frac{1}{3}$ に対応する固有ベクトル： $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

固有値 $-1$ に対応する固有ベクトル： $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix}$

これらは1次独立であるため、任意の平面ベクトルをこれらの1次結合で表すことができる。 与えられた点 $(2, 2)$ の位置ベクトルを実数 $a, b$ を用いて

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = a\vec{u} + b\vec{v} $$

とおく。成分で表すと、

$$ a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{cases} a + 3b = 2 \\ -a - 7b = 2 \end{cases} $$

辺々を加えると $-4b = 4$ より $b = -1$。 第1式に代入して $a - 3 = 2$ より $a = 5$。 したがって、

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix} $$

と表される。 求める像は $A^n \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ であるから、

$$ \begin{aligned} A^n \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} &= A^n \left\{ 5 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix} \right\} \\ &= 5 A^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - A^n \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ここで、$A \vec{u} = \frac{1}{3} \vec{u}$、$A \vec{v} = -\vec{v}$ であるから、正の整数 $n$ に対して

$$ A^n \vec{u} = \left( \frac{1}{3} \right)^n \vec{u}, \quad A^n \vec{v} = (-1)^n \vec{v} $$

が成り立つ。よって、

$$ \begin{aligned} A^n \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} &= 5 \left( \frac{1}{3} \right)^n \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} - (-1)^n \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 \left( \frac{1}{3} \right)^n - 3(-1)^n \\ -5 \left( \frac{1}{3} \right)^n + 7(-1)^n \end{pmatrix} \end{aligned} $$

ゆえに、求める点の座標は $\left( 5 \left( \frac{1}{3} \right)^n - 3(-1)^n, -5 \left( \frac{1}{3} \right)^n + 7(-1)^n \right)$ である。

解説

行列の対角化と固有値・固有ベクトルの概念を背景とする、1次変換の典型問題である。

(1) の「$P$ と $Q$ を通る直線が原点を通る」という条件は、「ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ がベクトル $\overrightarrow{OP}$ の実数倍になる」と言い換えることができる。この操作そのものが固有ベクトルを求める定義式 $A\vec{x} = k\vec{x}$ に帰着する。

(2) は、行列の $n$ 乗を計算する問題である。対角化行列 $P^{-1}AP$ を計算して求めてもよいが、本解答のように与えられた位置ベクトルを2つの固有ベクトルの1次結合に分解して考えるほうが、逆行列の計算などを省くことができ計算量が少なくなる。

答え

(1) $$ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right), \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \left( \frac{3}{\sqrt{58}}, -\frac{7}{\sqrt{58}} \right), \left( -\frac{3}{\sqrt{58}}, \frac{7}{\sqrt{58}} \right) $$

(2) $$ \left( 5 \left( \frac{1}{3} \right)^n - 3(-1)^n, -5 \left( \frac{1}{3} \right)^n + 7(-1)^n \right) $$