北海道大学 1982年 文系 第3問 解説

方針・初手

行列の積の可換性 $f \circ g = g \circ f$ から、行列 $A$ の成分についての条件式を導き、成分の数を減らす。その後、条件（ロ）のベクトルのなす角と平行4辺形の面積の条件を、内積と成分を用いた面積公式（または三角比による面積公式）を用いて立式し、残りの未知数を決定する。

解法1

条件（イ）より、行列 $A$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ について $AB = BA$ が成り立つ。

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} a+3b & -3a+b \\ c+3d & -3c+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-3c & b-3d \\ 3a+c & 3b+d \end{pmatrix} $$

各成分を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} a+3b = a-3c \\ -3a+b = b-3d \\ c+3d = 3a+c \\ -3c+d = 3b+d \end{cases} $$

これを解くと、$c = -b$ かつ $a = d$ を得る。したがって、行列 $A$ は次のように表される。

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} $$

次に条件（ロ）について考える。

$$ f(\vec{e}) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix} $$

ベクトル $\vec{e}$ と $f(\vec{e})$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるから、内積の定義より以下が成り立つ。

$$ \vec{e} \cdot f(\vec{e}) = |\vec{e}| |f(\vec{e})| \cos\frac{\pi}{6} $$

$$ 1 \cdot a + 0 \cdot (-b) = 1 \cdot \sqrt{a^2 + (-b)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ a = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{a^2+b^2} $$

右辺は正であるため、この等式より $a > 0$ であることがわかる。両辺を2乗して整理する。

$$ a^2 = \frac{3}{4} (a^2+b^2) $$

$$ a^2 = 3b^2 $$

また、$\vec{e} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $f(\vec{e}) = \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix}$ を2辺とする平行4辺形の面積が $\frac{2}{\sqrt{3}}$ であることから、成分を用いた面積公式により以下が成り立つ。

$$ |1 \cdot (-b) - 0 \cdot a| = \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ |-b| = \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ b = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$a > 0$ と $a^2 = 3b^2$ より、$a$ の値を求める。

$$ a = \sqrt{3b^2} = \sqrt{3 \cdot \frac{4}{3}} = 2 $$

したがって、$(a, b) = \left(2, \frac{2}{\sqrt{3}}\right), \left(2, -\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ となる。これらを $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ に代入して行列 $A$ を得る。

解法2

条件（イ）より、解法1と同様にして $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ を得る。

この形の行列による1次変換は、原点を中心とする相似拡大と回転の合成を表す。$k = \sqrt{a^2+b^2}$ とおくと、$A$ が零行列でないとき $k > 0$ であり、ある角 $\theta$ を用いて次のように表せる。

$$ A = k \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

ベクトル $\vec{e} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $x$ 軸の正の向きの単位ベクトルであるから、$f(\vec{e})$ は $\vec{e}$ を角度 $-\theta$ 回転させ、大きさを $k$ 倍したベクトルである。

条件（ロ）より、$\vec{e}$ と $f(\vec{e})$ のなす角が $\frac{\pi}{6}$ であるから、回転角の大きさは $\frac{\pi}{6}$ である。すなわち、$\theta = \pm \frac{\pi}{6}$ となる。

また、$\vec{e}$ と $f(\vec{e})$ を隣り合う2辺とする平行4辺形の面積は、2つのベクトルのなす角が $\frac{\pi}{6}$ であることを用いて次のように計算できる。

$$ |\vec{e}| |f(\vec{e})| \sin\frac{\pi}{6} = 1 \cdot k \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{2} $$

条件（ロ）より面積が $\frac{2}{\sqrt{3}}$ であるから、以下の等式が成り立つ。

$$ \frac{k}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}} $$

$$ k = \frac{4}{\sqrt{3}} $$

したがって、求める行列 $A$ は次のようになる。

$$ A = \frac{4}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} \cos\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) & \sin\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) \\ -\sin\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) & \cos\left(\pm\frac{\pi}{6}\right) \end{pmatrix} $$

複号それぞれについて計算する。$+$ のとき、

$$ A = \frac{4}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ -\frac{2}{\sqrt{3}} & 2 \end{pmatrix} $$

$-$ のとき、

$$ A = \frac{4}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & 2 \end{pmatrix} $$

解説

特定の行列と積が可換になる行列は、その成分に強い制約がかかるという性質を利用する典型問題である。今回導かれた $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ は、複素数平面における複素数の乗法に対応する「拡大と回転」を表す行列である。この図形的な意味に気づくことができれば、解法2のように成分計算を大幅に省略し、幾何学的な考察のみで手際よく解にたどり着くことができる。

答え

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & \frac{2}{\sqrt{3}} \\ -\frac{2}{\sqrt{3}} & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & -\frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{2}{\sqrt{3}} & 2 \end{pmatrix} $$