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北海道大学 1995年理系第2問解説

方針・初手

(1)は直線 $l$ と $m$ の方程式を連立し、$x$ を消去して $y(\theta)$ を求める。三角関数の加法定理を用いて整理する。
(2)は極限の計算である。微分の定義式 $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ に帰着させるか、加法定理で式を変形する。
(3)は(2)の結果を利用するため、(1)の導出過程の式において変数変換を行い、(2)の極限の形を作り出す。(2)の誘導を用いずに直接極限を計算することもできる。

解法1

(1)

直線 $l$ の方程式 $y = \tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)x$ において、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{2} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$ であるから $\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \neq 0$ である。したがって $x = \frac{y}{\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}$ と表せる。

これを直線 $m$ の方程式に代入すると、

$$y = -\frac{y}{\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} + \sqrt{2}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

$$y \left\{ 1 + \frac{1}{\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} \right\} = \sqrt{2}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

ここで、左辺のカッコの中身を変形すると、

$$1 + \frac{\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}$$

分子に三角関数の合成を用いると、

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cos\theta$$

よって、

$$y \cdot \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

$$y = \frac{\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)}{\cos\theta}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

さらに加法定理を用いて整理すると、

$$y(\theta) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta}{\cos\theta}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\tan\theta + 1)\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

(2)

$f(t) = 1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)$ とおく。

$f(0) = 1 + \tan\frac{3\pi}{4} = 1 - 1 = 0$ であるから、求める極限は関数 $f(t)$ の $t=0$ における微分係数 $f'(0)$ の定義式に一致する。

$$ \lim_{t \to 0} \frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0) $$

合成関数の微分より、

$$f'(t) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)$$

したがって、

$$f'(0) = \frac{1}{\cos^2\frac{3\pi}{4}} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\pi$$

(3)

(1)の導出過程で得られた以下の関係式を用いる。

$$y(\theta) \left\{ 1 + \frac{1}{\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} \right\} = \sqrt{2}\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$$

三角関数の性質 $\frac{1}{\tan\alpha} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ より、

$$1 + \frac{1}{\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} = 1 + \tan\left\{ \frac{\pi}{2} - \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \right\} = 1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}t$ とおくと、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\theta \to \frac{\pi}{2}$ は $\theta \to \frac{\pi}{2}-0$ を意味し、このとき $t \to -0$ となる。

このとき、

$$\frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}t\right) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t$$

タンジェントの周期性 $\tan\alpha = \tan(\alpha + \pi)$ より、

$$\tan\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right) = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)$$

また、右辺の係数は

$$1 - \frac{2}{\pi}\theta = 1 - \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}t\right) = 1 - (1 + t) = -t$$

以上より、(1)の方程式は次のように書き換えられる。

$$y(\theta) \left\{ 1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right) \right\} = -\sqrt{2}t$$

$t \to 0$ を考えるとき $t \neq 0$ としてよく、また(2)の結果から $1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right) \neq 0$ としてもよいので、

$$y(\theta) = \frac{-\sqrt{2}t}{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)} = \frac{-\sqrt{2}}{\frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)}{t}}$$

(2)より、分母の極限値は $-\pi$ であるから、

$$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} y(\theta) = \lim_{t \to 0} \frac{-\sqrt{2}}{\frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)}{t}} = \frac{-\sqrt{2}}{-\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$$

解法2

(2)の極限を加法定理で計算し、(3)を直接置換で計算する別解。

(2)

タンジェントの加法定理を用いる。

$$1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right) = 1 + \frac{\tan\frac{3\pi}{4} - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1 + \tan\frac{3\pi}{4}\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}$$

$\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ より、

$$1 + \frac{-1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)} = \frac{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right) - 1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)} = \frac{-2\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}$$

よって、極限を求める式は次のように変形できる。

$$\frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)}{t} = \frac{-2\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{t\left\{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right\}} = -2 \cdot \frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{\frac{\pi}{2}t} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}$$

ここで $t \to 0$ とすると、$\frac{\pi}{2}t \to 0$ より $\frac{\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right)}{\frac{\pi}{2}t} \to 1$、$\tan\left(\frac{\pi}{2}t\right) \to 0$ となるため、

$$\lim_{t \to 0} \frac{1 + \tan\left(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2}t\right)}{t} = -2 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1 - 0} = -\pi$$

(3)

(1)で求めた $y(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\tan\theta + 1)\left(1 - \frac{2}{\pi}\theta\right)$ の極限を直接計算する。

$\theta \to \frac{\pi}{2}$ のとき、これは $\infty \times 0$ の不定形となる。見通しを良くするため、$\theta = \frac{\pi}{2} - u$ とおく。$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $u \to +0$ である。

このとき、

$$\tan\theta = \tan\left(\frac{\pi}{2} - u\right) = \frac{1}{\tan u}$$

$$1 - \frac{2}{\pi}\theta = 1 - \frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2} - u\right) = \frac{2}{\pi}u$$

これらを $y(\theta)$ の式に代入すると、

$$y(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\tan u} + 1\right) \cdot \frac{2}{\pi}u = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\left(\frac{u}{\tan u} + u\right)$$

ここで、$\frac{u}{\tan u} = \frac{u}{\sin u}\cos u$ であり、$u \to +0$ のとき $\frac{u}{\sin u} \to 1$、$\cos u \to 1$ であるから $\frac{u}{\tan u} \to 1$ となる。

したがって、

$$\lim_{\theta \to \frac{\pi}{2}} y(\theta) = \lim_{u \to +0} \frac{\sqrt{2}}{\pi}\left(\frac{u}{\tan u} + u\right) = \frac{\sqrt{2}}{\pi}(1 + 0) = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$$

解説

(1)は2直線の交点を求める基本的な問題だが、その後の極限計算を見据えて式を整理する力が問われる。(3)で(2)の誘導をどう活かすかが最大のポイントである。解法1のように(1)の導出途中の式を利用し、角度の置換と周期性を利用して(2)の形を意図的に作り出すのが作問者の意図した本筋だろう。しかしながら、解法2に示したように、$\theta \to \frac{\pi}{2}$ における不定形の極限処理として定石である「$\theta = \frac{\pi}{2} - u$ とおく」という置換を行えば、(2)の誘導を用いずとも容易に極限が求まってしまう。試験本番で誘導への乗り方がわからなくなった場合は、定石に従って直接計算することも有効な手段である。