北海道大学 1994年 文系 第1問 解説

方針・初手

行列 $A$ の成分を文字でおき、与えられた条件を立式して解くのが自然である。 条件 (イ) は具体的な点の移動であるため、行列の1列目の成分が直接決まる。 条件 (ロ) については、点 $P$ が直線 $y=ax$ 上の点であることから $P(t, at)$ とおき、$Q$ の座標を求める。$\angle POQ=90^\circ$ から内積が $0$、面積の条件から $OQ = 2OP$ であることを用いて方程式を立てる。 図形的な意味に着目し、回転と拡大の変換を用いて行列を決定する別解も考えられる。

解法1

$1$ 次変換 $f$ を表す行列を $A = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ とおく。

条件 (イ) より、$f$ は点 $(1, 0)$ を点 $(2, 0)$ に移すので、

$$ \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} p \\ r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

よって、$p=2, r=0$ であり、$A = \begin{pmatrix} 2 & q \\ 0 & s \end{pmatrix}$ となる。

点 $P$ は直線 $y=ax$ 上の原点以外の点であるから、$t \neq 0$ を満たす実数 $t$ を用いて $P(t, at)$ とおける。 このとき、$\vec{OP} = \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix}$ であり、$Q = f(P)$ より

$$ \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 2 & q \\ 0 & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ at \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2t + qat \\ sat \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 + qa \\ sa \end{pmatrix} $$

となる。

条件 (ロ) より、$\angle POQ$ が直角であるから、内積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$ が成り立つ。

$$ t \cdot t(2+qa) + at \cdot t(sa) = 0 $$

$$ t^2 (2 + qa + sa^2) = 0 $$

$t \neq 0$ より $t^2 \neq 0$ であるから、

$$ 2 + qa + sa^2 = 0 \quad \cdots (1) $$

また、$\triangle POQ$ の面積が $OP^2$ に等しい。直角三角形の面積公式より $\triangle POQ = \frac{1}{2} |\vec{OP}| |\vec{OQ}|$ であるから、

$$ \frac{1}{2} |\vec{OP}| |\vec{OQ}| = |\vec{OP}|^2 $$

$|\vec{OP}| \neq 0$ であるため、両辺を $|\vec{OP}|$ で割り、$2$ 倍すると $|\vec{OQ}| = 2 |\vec{OP}|$ となる。両辺を $2$ 乗して、

$$ |\vec{OQ}|^2 = 4 |\vec{OP}|^2 \quad \cdots (2) $$

成分を用いて表すと、

$$ |\vec{OP}|^2 = t^2 + (at)^2 = t^2(1+a^2) $$

$$ |\vec{OQ}|^2 = t^2 (2+qa)^2 + t^2 (sa)^2 = t^2 \{(2+qa)^2 + s^2 a^2\} $$

これらを (2) に代入して、

$$ t^2 \{(2+qa)^2 + s^2 a^2\} = 4 t^2(1+a^2) $$

$t^2 \neq 0$ より、

$$ (2+qa)^2 + s^2 a^2 = 4(1+a^2) \quad \cdots (3) $$

(1) より $2+qa = -sa^2$ である。これを (3) に代入して $q$ を消去する。

$$ (-sa^2)^2 + s^2 a^2 = 4(1+a^2) $$

$$ s^2 a^4 + s^2 a^2 = 4(1+a^2) $$

$$ s^2 a^2 (a^2 + 1) = 4(a^2+1) $$

$a$ は実数であるから $a^2+1 \neq 0$ である。両辺を $a^2+1$ で割って、

$$ s^2 a^2 = 4 $$

$$ (sa)^2 = 4 $$

ゆえに、$sa = 2$ または $sa = -2$ となる。

(i) $sa = 2$ のとき

$a \neq 0$ より $s = \frac{2}{a}$。 これを (1) に代入すると、

$$ 2 + qa + 2a = 0 $$

$$ qa = -2a - 2 $$

$a \neq 0$ より $q = -2 - \frac{2}{a}$。 よって、

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2 - \frac{2}{a} \\ 0 & \frac{2}{a} \end{pmatrix} $$

(ii) $sa = -2$ のとき

$a \neq 0$ より $s = -\frac{2}{a}$。 これを (1) に代入すると、

$$ 2 + qa - 2a = 0 $$

$$ qa = 2a - 2 $$

$a \neq 0$ より $q = 2 - \frac{2}{a}$。 よって、

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 - \frac{2}{a} \\ 0 & -\frac{2}{a} \end{pmatrix} $$

以上より、求める行列 $A$ が決定される。

解法2

$\angle POQ = 90^\circ$ であり、$\triangle POQ = \frac{1}{2} |\vec{OP}| |\vec{OQ}| = |\vec{OP}|^2$ であることから、$|\vec{OQ}| = 2 |\vec{OP}|$ である。 これより、ベクトル $\vec{OQ}$ は、ベクトル $\vec{OP}$ を原点中心に $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転し、長さを $2$ 倍に拡大したものである。

原点中心の角度 $\theta$ の回転と、$k$ 倍の相似拡大を合成した変換を表す行列は $k \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ と表される。

$90^\circ$ 回転して $2$ 倍にする行列を $R_1$ とすると、

$$ R_1 = 2 \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

$-90^\circ$ 回転して $2$ 倍にする行列を $R_2$ とすると、

$$ R_2 = 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} $$

点 $P$ は直線 $y=ax$ 上の点であるから、方向ベクトル $\vec{d} = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ を用いて $\vec{OP} = t \vec{d}$ （$t \neq 0$）と表せる。 これに対する $A$ の作用は $\vec{OQ} = A \vec{OP}$ であり、上の考察から $A \vec{OP} = R_1 \vec{OP}$ または $A \vec{OP} = R_2 \vec{OP}$ が任意の $t$ で成り立つため、$A \vec{d} = R_1 \vec{d}$ または $A \vec{d} = R_2 \vec{d}$ である。

また、条件 (イ) より $A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ である。

これらをまとめて行列の積の形で表す。基底となる $2$ つのベクトルを並べた行列 $D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ を考える。$a \neq 0$ より $\det(D) = a \neq 0$ であるから $D$ は正則行列である。

(i) $A \vec{d} = R_1 \vec{d}$ のとき

$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a \\ 2 \end{pmatrix} $$

これと $A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を合わせると、

$$ A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2a \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2a \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}^{-1} $$

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -2a \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \frac{1}{a} \begin{pmatrix} a & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{a} \begin{pmatrix} 2a & -2-2a \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2-\frac{2}{a} \\ 0 & \frac{2}{a} \end{pmatrix} $$

(ii) $A \vec{d} = R_2 \vec{d}$ のとき

$$ A \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ -2 \end{pmatrix} $$

同様に、

$$ A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2a \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 2a \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \frac{1}{a} \begin{pmatrix} a & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{a} \begin{pmatrix} 2a & -2+2a \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2-\frac{2}{a} \\ 0 & -\frac{2}{a} \end{pmatrix} $$

解説

行列の成分を文字でおいて計算していく「成分計算」と、図形的な意味を捉えて基底ベクトルの変換として処理する「幾何的アプローチ」の $2$ 通りの手法が考えられる典型問題である。 解法 1 の成分計算では、$OP^2$ の計算式を立てた際に $t^2$ や $(a^2+1)$ などの $0$ にならない文字式で両辺を割る操作に気づけるかが計算量削減のポイントとなる。 解法 2 では、「直角で面積が等しい」という条件から、変換が $90^\circ$ または $-90^\circ$ の回転と $2$ 倍の拡大の合成であることを読み取る発想力が求められる。

答え

$$ \begin{pmatrix} 2 & -2 - \frac{2}{a} \\ 0 & \frac{2}{a} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 & 2 - \frac{2}{a} \\ 0 & -\frac{2}{a} \end{pmatrix} $$