京都大学 1982年 文系 第2問 解説

方針・初手

白線を $y$ 軸、点 A を原点とする座標平面を設定して考える。 出発点は $(-5, 0)$ であり、表が出ると $x$ 座標が $+1$、裏が出ると $y$ 座標が $+1$ される移動とみなせる。 白線に到達する、つまり $x=0$ になるまで移動を続けるため、「初めて $x=0$ に到達したときの $y$ 座標が $n$ である確率」を求めることになる。これは、最後の1回の移動の向きが固定されるタイプの反復試行の確率である。

確率 $p_n$ が求まったら、隣接する項の比 $\frac{p_{n+1}}{p_n}$ を計算し、それが $1$ より大きいか小さいかを調べることで数列の増減を判定し、最大値を求める。

解法1

(1) 点 A を原点 $(0,0)$ とし、白線を $y$ 軸（直線 $x=0$）とする座標平面を考える。 出発点を S とすると、S の座標は $(-5, 0)$ である。 銅貨を投げて表が出ると点 $(x, y)$ から $(x+1, y)$ へ移動し、裏が出ると $(x, y)$ から $(x, y+1)$ へ移動するとみなせる。

点 A から $n$ メートル北の点 $(0, n)$ に到達するためには、東へ合計5回、北へ合計 $n$ 回進む必要がある。 ただし、「白線に達するまで」これを続けるため、途中で $x=0$ になってはならない。すなわち、初めて $x=0$ に到達するのが点 $(0, n)$ でなければならない。 これは、全部で $n+5$ 回の移動のうち、 ・最初の $n+4$ 回で、東へ4回、北へ $n$ 回進む（点 $(-1, n)$ に到達する） ・最後の $n+5$ 回目で、東へ1回進む という事象が起こることと同値である。

最初の $n+4$ 回で東へ4回、北へ $n$ 回進む確率は、反復試行の確率より

$$ {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^n = {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+4} $$

であり、最後の1回で東へ進む確率は $\frac{1}{2}$ である。 したがって、求める確率 $p_n$ は

$$ p_n = {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+4} \times \frac{1}{2} = {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+5} $$

となる。（これは $n=0$ を含め、すべての $0$ 以上の整数 $n$ について成り立つ） 組合せの記号を展開すると、

$$ p_n = \frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{24} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+5} $$

と表せる。

(2) $p_n$ の増減を調べるため、$p_{n+1}$ と $p_n$ の比をとる。

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{ {}_{n+5}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+6} }{ {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+5} } $$

$$ = \frac{\frac{(n+5)!}{4!(n+1)!}}{\frac{(n+4)!}{4!n!}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+5}{n+1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+5}{2n+2} $$

これと $1$ との大小を比較する。

$$ \frac{p_{n+1}}{p_n} - 1 = \frac{n+5 - (2n+2)}{2n+2} = \frac{3-n}{2n+2} $$

$n \geqq 0$ であるから、分母は常に正である。 したがって、$\frac{p_{n+1}}{p_n}$ と $1$ の大小は分子 $3-n$ の符号と一致する。

(i)

$3-n > 0$ すなわち $n < 3$ （$n=0, 1, 2$）のとき $\frac{p_{n+1}}{p_n} > 1$ より、$p_n < p_{n+1}$ である。 よって、$p_0 < p_1 < p_2 < p_3$ となる。

(ii)

$3-n = 0$ すなわち $n = 3$ のとき $\frac{p_{n+1}}{p_n} = 1$ より、$p_3 = p_4$ である。

(iii)

$3-n < 0$ すなわち $n > 3$ （$n=4, 5, 6, \dots$）のとき $\frac{p_{n+1}}{p_n} < 1$ より、$p_n > p_{n+1}$ である。 よって、$p_4 > p_5 > p_6 > \cdots$ となる。

以上より、確率 $p_n$ の大小関係は

$$ p_0 < p_1 < p_2 < p_3 = p_4 > p_5 > p_6 > \cdots $$

となるため、$p_n$ は $n=3$ および $n=4$ のとき最大となる。

解説

(1) は「反復試行の確率」の応用問題である。単に「東へ5回、北へ $n$ 回進む」確率を求めてしまうと、途中で白線に到達してしまうケース（例えば最初に連続して東へ5回進んでしまうケースなど）を含んでしまうため誤りとなる。「ちょうど $n$ 試合目で優勝が決まる確率」などと同様に、最後の1回を分けて考えるのが鉄則である。

(2) は数列の最大値を求める問題である。確率や組合せを含んだ数列の最大値・最小値を求める際は、差 $p_{n+1} - p_n$ ではなく比 $\frac{p_{n+1}}{p_n}$ をとって $1$ と比較するのが非常に有効である。階乗や累乗が約分されて一次式の分数関数になるため、大小関係の判定が容易になる。

答え

(1)

$$ p_n = {}_{n+4}\mathrm{C}_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+5} \quad \left( \text{または } \frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{24} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+5} \right) $$

(2)

$$ n = 3, 4 $$