京都大学 1983年 文系 第1問 解説

方針・初手

点 $n$ に到達する直前の状態に注目する。硬貨を1回投げて進む距離は 1 または 2 であるため、ちょうど点 $n$ に到達するには、「点 $n-1$ に到達してから 1 進む」か「点 $n-2$ に到達してから 2 進む」のいずれかしかない。 この排反な2つの事象を利用して確率の漸化式を立て、隣接3項間の漸化式を解くという典型的な流れで解き進める。

解法1

(1) $n \geqq 3$ とする。ちょうど点 $n$ に到達するためには、直前の状態として次の2つの場合が考えられる。 （i） 点 $n-1$ にちょうど到達し、硬貨を投げて表（1進む）が出る場合。 （ii） 点 $n-2$ にちょうど到達し、硬貨を投げて裏（2進む）が出る場合。

これら2つの場合は互いに排反である。 硬貨を投げて表が出る確率、裏が出る確率はともに $\frac{1}{2}$ であるから、求める関係式は

$$ p_n = p_{n-1} \times \frac{1}{2} + p_{n-2} \times \frac{1}{2} $$

すなわち、

$$ p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n-2} $$

となる。

(2) まず、$p_1$ と $p_2$ を求める。 点 1 に到達するのは、最初の1回で表が出る場合のみであるから、

$$ p_1 = \frac{1}{2} $$

点 2 に到達するのは、最初の1回で裏が出る場合と、2回続けて表が出る場合であるから、

$$ p_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $$

(1)で求めた漸化式 $p_n - \frac{1}{2}p_{n-1} - \frac{1}{2}p_{n-2} = 0$ について、特性方程式 $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$ を解くと

$$ (x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right) = 0 \iff x = 1, -\frac{1}{2} $$

これを用いて、漸化式は次の2通りに変形できる。

$$ p_n - p_{n-1} = -\frac{1}{2}(p_{n-1} - p_{n-2}) \quad \cdots \text{①} $$

$$ p_n + \frac{1}{2}p_{n-1} = p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n-2} \quad \cdots \text{②} $$

①より、数列 $\{p_n - p_{n-1}\}$ は初項 $p_2 - p_1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。 したがって、$n \geqq 2$ において

$$ p_n - p_{n-1} = \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-2} = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-2} = \left( -\frac{1}{2} \right)^n \quad \cdots \text{③} $$

②より、数列 $\left\{p_n + \frac{1}{2}p_{n-1}\right\}$ は初項 $p_2 + \frac{1}{2}p_1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1$、公比 $1$ の等比数列である。 したがって、$n \geqq 2$ において

$$ p_n + \frac{1}{2}p_{n-1} = 1 \quad \cdots \text{④} $$

$p_{n-1}$ を消去するため、④式 と ③式 $\times \frac{1}{2}$ を辺々加える。

$$ \begin{aligned} p_n + \frac{1}{2}p_{n-1} &= 1 \\ +) \quad \frac{1}{2}p_n - \frac{1}{2}p_{n-1} &= \frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2} \right)^n \\ \hline \frac{3}{2}p_n &= 1 + \frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2} \right)^n \end{aligned} $$

両辺に $\frac{2}{3}$ を掛けて整理すると、

$$ p_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

を得る。（これは $n \geqq 3$ のときも当然成り立つ）

解説

確率と漸化式を組み合わせた非常にオーソドックスな問題である。 「ちょうど点 $n$ にいる」という状態の手前で何が起きていたかで場合分けを行い、確率の和の法則と積の法則を用いて立式する。 立式後は定石通りに隣接3項間漸化式を解くだけであるが、$p_1, p_2$ の計算ミスや、等比数列の一般項を求める際の指数ズレ（$n-1$ 乗にするか $n-2$ 乗にするか等）には注意が必要である。

答え

(1)

$$ p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{2}p_{n-2} $$

(2)

$$ p_n = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}\left( -\frac{1}{2} \right)^n $$