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京都大学 1993年文系第4問解説

方針・初手

だ円 $E$ の部分集合 $E_1, E_2$ を、媒介変数（パラメータ）を用いて表します。1次変換は連続な写像であるため、曲線 $E_1$ の「端点」は必ず像となる曲線 $E_2$ の「端点」に移るという性質に着目します。これにより、1次変換を表す行列の候補を絞り込むことができます。候補となる行列を求めた後は、それらが実際に $E_1$ 全体を $E_2$ 全体に過不足なく移すか（十分性）を確認します。

解法1

だ円 $E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上の点は、媒介変数 $\theta$ を用いて $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$ と表すことができる。これを用いると、部分集合 $E_1, E_2$ はそれぞれ以下のように表せる。

$$ E_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \mathrel{\Big|} 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right\} $$

$$ E_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \mathrel{\Big|} \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi \right\} $$

曲線 $E_1$ は、点 $A\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ （$\theta=0$）と点 $B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$\theta=\frac{\pi}{2}$）を両端とする連続な曲線である。同様に、曲線 $E_2$ は、点 $B\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ （$\theta=\frac{\pi}{2}$）と点 $C\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ （$\theta=\pi$）を両端とする連続な曲線である。 1次変換 $f$ は連続写像であるため、$E_1$ を $E_2$ に移すとき、$E_1$ の端点集合 $\{A, B\}$ は $E_2$ の端点集合 $\{B, C\}$ に移らなければならない。したがって、次の2つの場合が考えられる。

1次変換 $f$ を表す行列を $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とする。

(i)

$f(A) = B$ かつ $f(B) = C$ の場合

$$ M \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} 2a \\ 2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \implies a = 0, c = \frac{1}{2} $$

$$ M \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \implies b = -2, d = 0 $$

よって、$M = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$ となる。この行列による $E_1$ 上の点の像 $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ を調べる。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix} \quad \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

このとき、

$$ \frac{X^2}{4} + Y^2 = \frac{(-2\sin\theta)^2}{4} + (\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

を満たし、また $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\sin\theta \geqq 0, \cos\theta \geqq 0$ であるから、$X \leqq 0, Y \geqq 0$ となる。 $\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで動くとき、点 $(X, Y)$ は $(0, 1)$ から $(-2, 0)$ まで $E_2$ 上を連続的に動き、過不足なく $E_2$ 全体を描く。したがって、この行列は条件を満たす。

(ii)

$f(A) = C$ かつ $f(B) = B$ の場合

$$ M \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} 2a \\ 2c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \implies a = -1, c = 0 $$

$$ M \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \implies b = 0, d = 1 $$

よって、$M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となる。この行列による $E_1$ 上の点の像 $\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ を調べる。

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \quad \left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

このとき、

$$ \frac{X^2}{4} + Y^2 = \frac{(-2\cos\theta)^2}{4} + (\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $$

を満たし、また $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\cos\theta \geqq 0, \sin\theta \geqq 0$ であるから、$X \leqq 0, Y \geqq 0$ となる。 $\theta$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで動くとき、点 $(X, Y)$ は $(-2, 0)$ から $(0, 1)$ まで $E_2$ 上を連続的に動き、過不足なく $E_2$ 全体を描く。したがって、この行列も条件を満たす。（これは $y$ 軸に関する対称移動であるため、図形的にも $E_1$ が $E_2$ に移ることは明らかである。）

以上（i）, （ii）より、求める1次変換の行列は2つ存在する。

解説

曲線全体を別の曲線全体に移す1次変換を求める問題では、「図形の端点」や「図形の特徴的な点」がどこに移るかを追跡することが定石です。本問では、だ円の弧の端点がどこに移るかで2パターンの対応関係を考え、それぞれの方程式を解いて行列の成分を決定しています。ただし、端点が端点に移る行列を求めただけでは、その間の弧が意図した通りに移るかどうかの保証がありません（必要条件にすぎない）。そのため、後半で媒介変数表示を用いて、求めた行列によって $E_1$ 上の任意の点が $E_2$ 上にあり、かつ $E_2$ 全体をカバーすること（十分条件）をきちんと確認するプロセスが重要になります。