九州大学 1990年 文系 第3問 解説

方針・初手

1次変換 $f$ は、基本ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の行き先が与えられていることから、表す行列の各列がそのまま決まる。

回転変換 $g$ は、原点周りの回転を表す行列の公式をそのまま用いる。

合成変換 $g \circ f$ は、「$f$ で移した後に $g$ で移す」変換なので、表す行列はそれぞれの行列の積となる。積の順序に注意する。

変換によって移された曲線の軌跡を求める際は、移された後の点 $(X, Y)$ を用いて元の点 $(x, y)$ を逆算し、元の曲線の方程式に代入する手法が定石である。

解法1

(1)

$f$ を表す行列を $A$ とする。題意より、

$$A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

これらをまとめると、

$$A \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

したがって、$f$ を表す行列 $A$ は、

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

また、$g$ は原点のまわりの角度 $45^{\circ}$ の回転であるから、$g$ を表す行列を $B$ とすると、

$$B = \begin{pmatrix} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

(2)

合成変換 $g \circ f$ は、まず $f$ で移し、その結果を $g$ で移す変換である。したがって、これを表す行列を $C$ とすると、$C = BA$ となる。

$$C = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$

次に、$C$ の逆行列 $C^{-1}$ を求める。

$$C = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

行列式 $\Delta$ は、

$$\Delta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$$

$\Delta \neq 0$ であるから逆行列が存在し、

$$C^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

(3)

円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(x, y)$ が合成変換 $g \circ f$ によって点 $(X, Y)$ に移されるとする。

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = C \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

これより、両辺に左から $C^{-1}$ を掛けて、

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = C^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$$

したがって、$x, y$ はそれぞれ次のように表される。

$$x = \frac{3X + Y}{3\sqrt{2}}, \quad y = \frac{-3X + Y}{3\sqrt{2}}$$

点 $(x, y)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ 上の点であるから、求めた式を代入する。

$$\left( \frac{3X + Y}{3\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{-3X + Y}{3\sqrt{2}} \right)^2 = 1$$

展開して整理すると、

$$\frac{9X^2 + 6XY + Y^2}{18} + \frac{9X^2 - 6XY + Y^2}{18} = 1$$

$$\frac{18X^2 + 2Y^2}{18} = 1$$

$$X^2 + \frac{Y^2}{9} = 1$$

よって、求める曲線の方程式は、座標の文字を $x, y$ に直して、

$$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$$

解説

1次変換の行列表示、合成変換、逆行列、そして1次変換による図形の移動といった、行列と1次変換の基礎的な理解を問う問題である。

(2)における行列の積の順序に注意したい。変換 $f$ を行った後に変換 $g$ を行う合成変換 $g \circ f$ は、列ベクトルへの作用を考えると $g(f(\vec{x})) = B(A\vec{x}) = (BA)\vec{x}$ となるため、行列の積は $BA$ の順序で計算する。

(3)の軌跡の計算では、変換された後の座標 $(X, Y)$ から元の座標 $(x, y)$ を表すために逆行列を活用する。この手法は1次変換に限らず、様々な変換問題で応用できる重要な定石である。計算の過程で $XY$ の項がきれいに消え、標準的な楕円の方程式が得られることが確認できる。

答え

(1)

$f$ を表す行列：$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ $g$ を表す行列：$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(2)

合成変換 $g \circ f$ を表す行列：$\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ その逆行列：$\frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

(3)

$$x^2 + \frac{y^2}{9} = 1$$