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東京工業大学 1994年理系第2問解説

方針・初手

点 $P$ を原点周りに回転した点が $Q$ であるから、回転移動の公式（回転行列または複素数平面）を利用して $Q$ の座標を表現する。軌跡の方程式を求める(2)では、$Q(X, Y)$ を逆回転して得られる座標が $C$ 上の点 $P$ と一致することを利用し、パラメータ $t$ を介さずに $X, Y$ の関係式を導くのが簡明である。(3)は得られた方程式に具体的な座標を代入し、三角方程式を解く基本問題に帰着する。

解法1

(1)

点 $P \left(t, -\frac{2}{t}\right)$ を原点を中心とし反時計回りに角度 $\theta$ だけ回転した点が $Q$ である。$Q$ の座標を $(X, Y)$ とすると、行列を用いた回転の公式より、

$$ \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ -\frac{2}{t} \end{pmatrix} $$

行列の積を計算すると、

$$ X = t\cos\theta + \frac{2}{t}\sin\theta $$

$$ Y = t\sin\theta - \frac{2}{t}\cos\theta $$

よって、$Q$ の座標は $\left( t\cos\theta + \frac{2}{t}\sin\theta, \ t\sin\theta - \frac{2}{t}\cos\theta \right)$ と表される。

(2)

点 $Q(X, Y)$ を原点を中心とし時計回りに角度 $\theta$ （すなわち $-\theta$ だけ）回転させた点が $P \left(t, -\frac{2}{t}\right)$ に一致する。よって、

$$ \begin{pmatrix} t \\ -\frac{2}{t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} $$

これより、

$$ \begin{cases} t = X\cos\theta + Y\sin\theta \\ -\frac{2}{t} = -X\sin\theta + Y\cos\theta \end{cases} $$

第1式と第2式の辺々を掛け合わせると、$t$ が消去されて、

$$ -2 = (X\cos\theta + Y\sin\theta)(-X\sin\theta + Y\cos\theta) $$

右辺を展開して整理する。

$$ -2 = -X^2\sin\theta\cos\theta + XY(\cos^2\theta - \sin^2\theta) + Y^2\sin\theta\cos\theta $$

2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$, $\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ を用いると、

$$ -2 = -\frac{1}{2}X^2\sin2\theta + XY\cos2\theta + \frac{1}{2}Y^2\sin2\theta $$

両辺を $-2$ 倍して、

$$ X^2\sin2\theta - 2XY\cos2\theta - Y^2\sin2\theta = 4 $$

点 $P$ は $t \neq 0$ を満たす任意の実数値をとって動く。ここで、上記方程式を満たす点 $(X,Y)$ に対し $X\cos\theta + Y\sin\theta = 0$ と仮定すると、左辺の積が $0$ となり右辺の $-2$ に等しくなることに矛盾するため、自動的に $t \neq 0$ は保証される。

したがって、$Q$ の描く曲線の方程式は $x, y$ を用いて次のように表される。

$$ x^2\sin2\theta - 2xy\cos2\theta - y^2\sin2\theta = 4 $$

また、この曲線は、双曲線 $xy = -2$ を原点周りに合同変換（回転移動）して得られる図形であるから、描く曲線は双曲線である。

(3)

(2)で求めた曲線が点 $(\sqrt{3}+1, \sqrt{3}-1)$ を通る条件を考える。 $x = \sqrt{3}+1$, $y = \sqrt{3}-1$ を方程式に代入する。ここで、各項の計算を先に行う。

$$ x^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4 + 2\sqrt{3} $$

$$ y^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 4 - 2\sqrt{3} $$

$$ xy = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2 $$

これらを(2)の方程式に代入すると、

$$ (4 + 2\sqrt{3})\sin2\theta - 2 \cdot 2\cos2\theta - (4 - 2\sqrt{3})\sin2\theta = 4 $$

整理すると、

$$ (4 + 2\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3})\sin2\theta - 4\cos2\theta = 4 $$

$$ 4\sqrt{3}\sin2\theta - 4\cos2\theta = 4 $$

両辺を $4$ で割ると、

$$ \sqrt{3}\sin2\theta - \cos2\theta = 1 $$

三角関数の合成を行う。

$$ 2 \left( \sin2\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos2\theta \cdot \frac{1}{2} \right) = 1 $$

$$ 2 \sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{6} \right) = 1 $$

$$ \sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} $$

ここで、$0 < \theta < 2\pi$ であるから、$2\theta$ の範囲は $0 < 2\theta < 4\pi$ となり、合成した角の範囲は以下のようになる。

$$ -\frac{\pi}{6} < 2\theta - \frac{\pi}{6} < \frac{23\pi}{6} $$

この範囲で $\sin \left( 2\theta - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$ となる角を求めると、

$$ 2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6} $$

各辺に $\frac{\pi}{6}$ を足して $2\theta$ を求めると、

$$ 2\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{7\pi}{3}, 3\pi $$

したがって、求める $\theta$ の値は、

$$ \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} $$

解説

2次曲線の回転移動に関する標準的な問題である。(1)で素直に回転行列や複素数平面を用いるだけでなく、(2)の軌跡を求める際に「点 $Q$ を $-\theta$ 回転させれば元の点 $P$ に戻る」という逆変換の発想を持てるかが計算量削減のポイントとなる。(1)で得た式から直接 $t$ を消去しようとすると計算がやや煩雑になるが、逆変換を使えば元の双曲線の方程式 $xy=-2$ に代入するだけで鮮やかに $t$ を消去できる。

(3)の三角方程式は、角が $2\theta$ となっているため定義域が $4\pi$ 分あることに注意が必要である。範囲の端の処理を間違えないようにしつつ、基本的な三角関数の合成を行えば解き切ることができる。