トップ› 京都大学› 1999年› 文系第1問

京都大学 1999年文系第1問解説

方針・初手

線分の長さの2乗の和に関する不等式の証明問題です。図形的に処理する場合は、中点が登場することから「中線定理（パップスの定理）」の利用が有効です。また、図形を直交座標系に配置して代数的に証明する方針も確実です。計算を簡略化するため、垂線の足 $H$ を原点に設定して各点の座標をおき、(左辺) $-$ (右辺) $\geqq 0$ を示します。

解法1

中線定理を利用する解法

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点が $M$ であるから、中線定理より以下の等式が成り立つ。

$$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

また、$\triangle PBC$ においても $M$ は辺 $BC$ の中点であるから、同様に中線定理より以下の等式が成り立つ。

$$ BP^2 + CP^2 = 2(PM^2 + BM^2) $$

これらを示すべき不等式 $AB^2 + AC^2 \geqq 2AP^2 + BP^2 + CP^2$ の両辺に適用すると、証明すべき不等式は次のように変形できる。

$$ 2(AM^2 + BM^2) \geqq 2AP^2 + 2(PM^2 + BM^2) $$

両辺を $2$ で割り、共通する $BM^2$ を消去すると、

$$ AM^2 \geqq AP^2 + PM^2 $$

となる。したがって、この不等式を示せばよい。

直線 $AH$ は辺 $BC$ に垂直であるから、$\triangle AHM$ および $\triangle AHP$ は $\angle H = 90^\circ$ の直角三角形である。（ただし、$M$ や $P$ が $H$ と一致する場合は三角形が潰れるが、長さの等式としては成立する）それぞれの直角三角形に対して三平方の定理を適用すると、

$$ AM^2 = AH^2 + HM^2 $$

$$ AP^2 = AH^2 + HP^2 $$

となる。これらの辺々の差をとると、

$$ AM^2 - AP^2 = HM^2 - HP^2 $$

ゆえに、示すべき不等式は以下のように書き換えられる。

$$ HM^2 - HP^2 \geqq PM^2 $$

$$ HM^2 \geqq HP^2 + PM^2 $$

ここで、点 $P$ は線分 $MH$ 上にあるため、長さについて $HM = HP + PM$ が成り立つ。この両辺を2乗すると、

$$ HM^2 = (HP + PM)^2 = HP^2 + 2HP \cdot PM + PM^2 $$

となる。点 $P$ は線分上の点なので $HP \geqq 0, PM \geqq 0$ であり、$2HP \cdot PM \geqq 0$ である。したがって、

$$ HM^2 \geqq HP^2 + PM^2 $$

が成り立つ。以上を逆にたどることで、$AB^2 + AC^2 \geqq 2AP^2 + BP^2 + CP^2$ が示された。

解法2

座標平面を設定する解法

点 $H$ を原点 $(0,0)$ とし、直線 $BC$ を $x$ 軸にとる直交座標系を設定する。点 $A$ は $y$ 軸上にあるので、$A(0, a)$ とおくことができる（$a > 0$ としてよい）。また、$B(b, 0), C(c, 0)$ とおく。$\triangle ABC$ は鋭角三角形なので、頂点 $A$ から下ろした垂線の足 $H$ は線分 $BC$ の内側にある。したがって $b < 0 < c$ としても一般性を失わない。

点 $M$ は辺 $BC$ の中点であるから、その座標は $M\left(\frac{b+c}{2}, 0\right)$ である。点 $P$ は線分 $MH$ 上の点であるから、その座標を $P(p, 0)$ とおくと、$p$ は原点 $0$ と $\frac{b+c}{2}$ の間にある値をとる。すなわち、$p$ と $\frac{b+c}{2} - p$ は同符号であるか、少なくとも一方が $0$ であるから、

$$ p\left(\frac{b+c}{2} - p\right) \geqq 0 $$

が成り立つ。

この設定のもとで、示すべき不等式の左辺と右辺を計算する。

$$ \text{(左辺)} = AB^2 + AC^2 = (b^2 + a^2) + (c^2 + a^2) = b^2 + c^2 + 2a^2 $$

$$ \begin{aligned} \text{(右辺)} &= 2AP^2 + BP^2 + CP^2 \\ &= 2(p^2 + a^2) + (p - b)^2 + (p - c)^2 \\ &= 2p^2 + 2a^2 + p^2 - 2bp + b^2 + p^2 - 2cp + c^2 \\ &= 4p^2 - 2(b + c)p + b^2 + c^2 + 2a^2 \end{aligned} $$

両辺の差をとると、

$$ \begin{aligned} \text{(左辺)} - \text{(右辺)} &= (b^2 + c^2 + 2a^2) - \{4p^2 - 2(b + c)p + b^2 + c^2 + 2a^2\} \\ &= -4p^2 + 2(b + c)p \\ &= 4p\left(\frac{b+c}{2} - p\right) \end{aligned} $$

先に確認したように $p\left(\frac{b+c}{2} - p\right) \geqq 0$ であるから、

$$ \text{(左辺)} - \text{(右辺)} \geqq 0 $$

よって、$AB^2 + AC^2 \geqq 2AP^2 + BP^2 + CP^2$ が成り立つことが示された。