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京都大学 1999年文系第4問解説

方針・初手

複素数平面における円と実数条件に関する標準的な問題です。複素数 $z$ が単位円上にあるという幾何的な条件を、$|z|=1$ すなわち $z\bar{z}=1$ という代数的な条件に翻訳して計算を進めます。また、ある複素数 $w$ が実数であることは、$\bar{w} = w$ が成り立つことと同値です。 (2) はすべての変数に $\bar{z_k} = \frac{1}{z_k}$ を代入して $\bar{w}=w$ を示し、(3) は $\bar{w}=w$ の式に $z_1, z_2, z_3$ の条件のみを代入して $z_4\bar{z_4} = 1$ を導くという、代数計算の典型的な流れになります。

解法1

(1)

複素数 $z$ が単位円上にあるための必要十分条件は、原点からの距離が $1$、すなわち $|z| = 1$ であることである。両辺は正であるから、これは $|z|^2 = 1$ と同値である。複素数の絶対値の性質 $|z|^2 = z\bar{z}$ を用いると、

$$ z\bar{z} = 1 $$

$|z|=1$ より $z \neq 0$ であるから、両辺を $z$ で割ると

$$ \bar{z} = \frac{1}{z} $$

となり、これが成り立つことは $z$ が単位円上にあるための必要十分条件である。

(2)

$z_1, z_2, z_3, z_4$ はすべて単位円上にあるため、(1) の結果より、$k=1, 2, 3, 4$ について $\bar{z_k} = \frac{1}{z_k}$ が成り立つ。 $w$ の共役複素数 $\bar{w}$ を計算する。

$$ \bar{w} = \overline{ \left( \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)} \right) } = \frac{(\bar{z_1} - \bar{z_3})(\bar{z_2} - \bar{z_4})}{(\bar{z_1} - \bar{z_4})(\bar{z_2} - \bar{z_3})} $$

ここに $\bar{z_k} = \frac{1}{z_k}$ を代入する。

$$ \bar{w} = \frac{\left(\frac{1}{z_1} - \frac{1}{z_3}\right)\left(\frac{1}{z_2} - \frac{1}{z_4}\right)}{\left(\frac{1}{z_1} - \frac{1}{z_4}\right)\left(\frac{1}{z_2} - \frac{1}{z_3}\right)} = \frac{\frac{z_3 - z_1}{z_1 z_3} \cdot \frac{z_4 - z_2}{z_2 z_4}}{\frac{z_4 - z_1}{z_1 z_4} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_2 z_3}} $$

分母と分子に $z_1 z_2 z_3 z_4$ を掛けて整理する。

$$ \bar{w} = \frac{(z_3 - z_1)(z_4 - z_2)}{(z_4 - z_1)(z_3 - z_2)} $$

$$ \bar{w} = \frac{-(z_1 - z_3) \cdot -(z_2 - z_4)}{-(z_1 - z_4) \cdot -(z_2 - z_3)} = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)} $$

よって $\bar{w} = w$ が成り立つため、$w$ は実数である。

(3)

$w$ は実数であるから $\bar{w} = w$ が成り立つ。また、$z_1, z_2, z_3$ は単位円上にあるため、(1) より $\bar{z_k} = \frac{1}{z_k} \ (k=1, 2, 3)$ である。 (2) と同様に $\bar{w}$ を計算するが、$z_4$ には条件を代入せずに残しておく。

$$ \bar{w} = \frac{(\bar{z_1} - \bar{z_3})(\bar{z_2} - \bar{z_4})}{(\bar{z_1} - \bar{z_4})(\bar{z_2} - \bar{z_3})} = \frac{\left(\frac{1}{z_1} - \frac{1}{z_3}\right)\left(\frac{1}{z_2} - \bar{z_4}\right)}{\left(\frac{1}{z_1} - \bar{z_4}\right)\left(\frac{1}{z_2} - \frac{1}{z_3}\right)} = \frac{\frac{z_3 - z_1}{z_1 z_3} \cdot \frac{1 - z_2 \bar{z_4}}{z_2}}{\frac{1 - z_1 \bar{z_4}}{z_1} \cdot \frac{z_3 - z_2}{z_2 z_3}} $$

分母分子に $z_1 z_2 z_3$ を掛けて整理する。

$$ \bar{w} = \frac{(z_3 - z_1)(1 - z_2 \bar{z_4})}{(1 - z_1 \bar{z_4})(z_3 - z_2)} $$

これが $w = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)}$ と等しいから、

$$ \frac{(z_3 - z_1)(1 - z_2 \bar{z_4})}{(1 - z_1 \bar{z_4})(z_3 - z_2)} = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)} $$

$z_1, z_2, z_3, z_4$ は相異なる複素数であるから、$z_1 \neq z_3$ かつ $z_2 \neq z_3$ である。したがって、$z_3 - z_1 = -(z_1 - z_3)$、$z_3 - z_2 = -(z_2 - z_3)$ として両辺を約分できる。

$$ \frac{-(z_1 - z_3)(1 - z_2 \bar{z_4})}{-(1 - z_1 \bar{z_4})(z_2 - z_3)} = \frac{(z_1 - z_3)(z_2 - z_4)}{(z_1 - z_4)(z_2 - z_3)} $$

$$ \frac{1 - z_2 \bar{z_4}}{1 - z_1 \bar{z_4}} = \frac{z_2 - z_4}{z_1 - z_4} $$

分母を払って展開する。（$z_k$ は相異なるので分母は $0$ にならない）

$$ (1 - z_2 \bar{z_4})(z_1 - z_4) = (1 - z_1 \bar{z_4})(z_2 - z_4) $$

$$ z_1 - z_4 - z_1 z_2 \bar{z_4} + z_2 z_4 \bar{z_4} = z_2 - z_4 - z_1 z_2 \bar{z_4} + z_1 z_4 \bar{z_4} $$

両辺の共通項 $-z_4$ および $-z_1 z_2 \bar{z_4}$ を消去し、整理する。

$$ z_1 + z_2 z_4 \bar{z_4} = z_2 + z_1 z_4 \bar{z_4} $$

$$ z_1 - z_2 - z_1 z_4 \bar{z_4} + z_2 z_4 \bar{z_4} = 0 $$

$$ (z_1 - z_2) - z_4 \bar{z_4} (z_1 - z_2) = 0 $$

$$ (z_1 - z_2)(1 - z_4 \bar{z_4}) = 0 $$

$z_1, z_2$ は相異なる複素数であるから、$z_1 - z_2 \neq 0$ である。したがって、

$$ 1 - z_4 \bar{z_4} = 0 $$

$$ z_4 \bar{z_4} = 1 $$

$|z_4|^2 = 1$ より $|z_4| = 1$ となり、$z_4$ も単位円上にあることが示された。

解法2

図形的な意味（円周角と偏角の関係）を用いて解くこともできる。

(2)

$w$ の偏角を考える。

$$ \arg w = \arg \left( \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \cdot \frac{z_2 - z_4}{z_1 - z_4} \right) = \arg \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} - \arg \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} $$

$z_1, z_2, z_3, z_4$ が単位円上の点であるとき、これら4点は同一円周上にある。円周角の定理より、弦 $z_1 z_2$ に対する円周角は等しい、または円に内接する四角形の対角の和が $\pi$ となることから、いずれにせよ $\arg \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} - \arg \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4}$ は $0$ または $\pi$ の整数倍となる。すなわち、

$$ \arg w \equiv 0 \pmod \pi $$

偏角が $\pi$ の整数倍である複素数は実数である。よって $w$ は実数である。

(3)

$w$ が実数であるから、$\arg w \equiv 0 \pmod \pi$ が成り立つ。これはすなわち、

$$ \arg \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} - \arg \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} \equiv 0 \pmod \pi $$

$$ \arg \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \equiv \arg \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} \pmod \pi $$

であることを意味する。この条件は、4点 $z_1, z_2, z_3, z_4$ が同一円周上（または同一直線上）にあることの必要十分条件である。ここで、$z_1, z_2, z_3$ は単位円上の相異なる3点であるから、この3点を通る円は単位円に一意に定まる（同一直線上にはない）。したがって、残りの点 $z_4$ もこの単位円上になければならない。よって $z_4$ は単位円上にある。

解説

複素数平面における「実数条件（$\bar{z}=z$）」と「単位円上の条件（$\bar{z} = \frac{1}{z}$）」の扱いを問う、非常に重要で典型的な問題です。本問で与えられている $w$ のような式は「複比（交比）」と呼ばれ、4点が同一円周上にあるときに実数になるという美しい幾何的性質を持っています（解法2）。解法1のように共役複素数をとってゴリゴリと式変形していくアプローチは、複比の知識がなくても確実に正解にたどり着けるため、複素数の計算力トレーニングとして最適です。(3) の最後で因数分解によって $z_4\bar{z_4}=1$ がくくり出される爽快感を味わいましょう。