京都大学 1962年 理系 第3問 解説

方針・初手

定円を複素数平面上の単位円として座標設定し、各点を複素数で表す。 円周上の動点 $P$ を表す複素数を $p$ とし、同一直線上にある条件や平行条件から点 $Q, R, S$ を $p$ の式で表す。その後、直線 $RS$ の方程式を調べる。

解法1

定円 $O$ を複素数平面上の単位円 $|z|=1$ とし、点 $A, B$ を表す複素数をそれぞれ $\alpha, \beta$ とおく。 条件より、点 $A, B$ は円の内部にある異なる定点なので、$|\alpha|<1, |\beta|<1, \alpha \neq \beta$ である。 また、円周上の点 $P, Q, R, S$ を表す複素数をそれぞれ $p, q, r, s$ とすると、これらは絶対値が $1$ である。すなわち、$\bar{p} = \frac{1}{p}$ などが成り立つ。

点 $Q, R$ の導出

点 $P, A, Q$ は同一直線上にあるため、$\frac{q-\alpha}{p-\alpha}$ は実数である。 したがって、これとその共役複素数は等しい。

$$ \begin{aligned} \frac{q-\alpha}{p-\alpha} &= \overline{\left( \frac{q-\alpha}{p-\alpha} \right)} \\ &= \frac{\bar{q}-\bar{\alpha}}{\bar{p}-\bar{\alpha}} \\ &= \frac{\frac{1}{q}-\bar{\alpha}}{\frac{1}{p}-\bar{\alpha}} \\ &= \frac{p(1-\bar{\alpha}q)}{q(1-\bar{\alpha}p)} \end{aligned} $$

分母を払って整理する。

$$ q(q-\alpha)(1-\bar{\alpha}p) = p(p-\alpha)(1-\bar{\alpha}q) $$

$$ q^2 - \bar{\alpha}pq^2 - \alpha q + |\alpha|^2 pq = p^2 - \bar{\alpha}p^2q - \alpha p + |\alpha|^2 pq $$

$$ q^2 - p^2 + \bar{\alpha}pq(p-q) + \alpha(p-q) = 0 $$

$$ (q-p)(q+p-\bar{\alpha}pq-\alpha) = 0 $$

点 $P, Q$ は一致しない一般的な場合を考えると $p \neq q$ より、両辺を $q-p$ で割る。

$$ q+p-\bar{\alpha}pq-\alpha = 0 \iff q(\bar{\alpha}p-1) = p-\alpha $$

$$ q = \frac{p-\alpha}{\bar{\alpha}p-1} $$

同様に、点 $P, B, R$ が同一直線上にあることから、点 $R$ の複素数 $r$ は以下のようになる。

$$ r = \frac{p-\beta}{\bar{\beta}p-1} $$

点 $S$ の導出

直線 $QS$ は直線 $AB$ と平行であるため、$\frac{s-q}{\beta-\alpha}$ は実数である。

$$ \begin{aligned} \frac{s-q}{\beta-\alpha} &= \overline{\left( \frac{s-q}{\beta-\alpha} \right)} \\ &= \frac{\bar{s}-\bar{q}}{\bar{\beta}-\bar{\alpha}} \\ &= \frac{\frac{1}{s}-\frac{1}{q}}{\bar{\beta}-\bar{\alpha}} \\ &= \frac{q-s}{sq(\bar{\beta}-\bar{\alpha})} \end{aligned} $$

ここで、定数 $\gamma = -\frac{\beta-\alpha}{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}$ とおく。$\gamma$ は絶対値が $1$ の複素数である。 両辺に $\beta-\alpha$ を掛ける。

$$ s-q = (\beta-\alpha) \frac{-(s-q)}{sq(\bar{\beta}-\bar{\alpha})} = \gamma \frac{s-q}{sq} $$

$s \neq q$ より両辺を $s-q$ で割ると、$1 = \frac{\gamma}{sq}$ すなわち $s = \frac{\gamma}{q}$ を得る。 先に求めた $q$ の式を代入する。

$$ s = \gamma \frac{\bar{\alpha}p-1}{p-\alpha} $$

直線 $RS$ の方程式

単位円上の2点 $R(r), S(s)$ を通る直線の方程式は、$z + rs\bar{z} = r+s$ と表される。 ここで、$r+s$ と $rs$ を $p$ で表す。

$$ \begin{aligned} r+s &= \frac{p-\beta}{\bar{\beta}p-1} + \gamma \frac{\bar{\alpha}p-1}{p-\alpha} \\ &= \frac{(p-\beta)(p-\alpha) + \gamma(\bar{\alpha}p-1)(\bar{\beta}p-1)}{(\bar{\beta}p-1)(p-\alpha)} \\ &= \frac{(1+\gamma\bar{\alpha}\bar{\beta})p^2 - (\alpha+\beta+\gamma\bar{\alpha}+\gamma\bar{\beta})p + \alpha\beta+\gamma}{(\bar{\beta}p-1)(p-\alpha)} \end{aligned} $$

$$ rs = \gamma \frac{(p-\beta)(\bar{\alpha}p-1)}{(\bar{\beta}p-1)(p-\alpha)} $$

これらを直線の方程式に代入し、両辺に分母の $(\bar{\beta}p-1)(p-\alpha)$ を掛ける。

$$ z(\bar{\beta}p-1)(p-\alpha) + \gamma(p-\beta)(\bar{\alpha}p-1)\bar{z} = (1+\gamma\bar{\alpha}\bar{\beta})p^2 - (\alpha+\beta+\gamma\bar{\alpha}+\gamma\bar{\beta})p + \alpha\beta+\gamma $$

左辺を $p$ について整理する。

$$ \begin{aligned} \text{左辺} &= z(\bar{\beta}p^2 - (\alpha\bar{\beta}+1)p + \alpha) + \gamma\bar{z}(\bar{\alpha}p^2 - (\bar{\alpha}\beta+1)p + \beta) \\ &= (\bar{\beta}z + \gamma\bar{\alpha}\bar{z})p^2 - \{(\alpha\bar{\beta}+1)z + \gamma(\bar{\alpha}\beta+1)\bar{z}\}p + \alpha z + \gamma\beta\bar{z} \end{aligned} $$

直線 $RS$ が $p$ の値によらず定点 $C(c)$ を通るとすると、上式に $z=c$ を代入したものが $p$ についての恒等式となる。両辺の $p$ の各次数の係数を比較すると、以下の3式が得られる。

$$ \bar{\beta}c + \gamma\bar{\alpha}\bar{c} = 1+\gamma\bar{\alpha}\bar{\beta} \quad \cdots \text{(i)} $$

$$ (\alpha\bar{\beta}+1)c + \gamma(\bar{\alpha}\beta+1)\bar{c} = \alpha+\beta+\gamma(\bar{\alpha}+\bar{\beta}) \quad \cdots \text{(ii)} $$

$$ \alpha c + \gamma\beta\bar{c} = \alpha\beta+\gamma \quad \cdots \text{(iii)} $$

定点 $c$ の存在証明

（iii） の両辺の共役をとり、$\gamma\bar{\gamma}=1$ であることを用いて整理すると、（i） と完全に一致する。 したがって、（ii） と （iii） を同時に満たす $c$ が存在することを示せばよい。 (iii)

$\times (\bar{\alpha}\beta+1)$ から （ii） $\times \beta$ を引いて $\bar{c}$ を消去する。

$$ \{ \alpha(\bar{\alpha}\beta+1) - \beta(\alpha\bar{\beta}+1) \} c = (\alpha\beta+\gamma)(\bar{\alpha}\beta+1) - \beta(\alpha+\beta+\gamma\bar{\alpha}+\gamma\bar{\beta}) $$

左辺の $c$ の係数を整理する。

$$ \alpha|\alpha|^2\beta + \alpha - \alpha|\beta|^2 - \beta = \alpha(1-|\beta|^2) - \beta(1-|\alpha|^2) $$

右辺を整理する。

$$ |\alpha|^2\beta^2 + \alpha\beta + \gamma\bar{\alpha}\beta + \gamma - \alpha\beta - \beta^2 - \gamma\bar{\alpha}\beta - \gamma|\beta|^2 = -\beta^2(1-|\alpha|^2) + \gamma(1-|\beta|^2) $$

よって、次の方程式を得る。

$$ \{ \alpha(1-|\beta|^2) - \beta(1-|\alpha|^2) \} c = -\beta^2(1-|\alpha|^2) + \gamma(1-|\beta|^2) $$

ここで、左辺の $c$ の係数が $0$ になると仮定すると、

$$ \alpha(1-|\beta|^2) = \beta(1-|\alpha|^2) \iff \frac{\alpha}{1-|\alpha|^2} = \frac{\beta}{1-|\beta|^2} $$

両辺の絶対値をとる。

$$ \frac{|\alpha|}{1-|\alpha|^2} = \frac{|\beta|}{1-|\beta|^2} $$

関数 $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$ は $x \ge 0$ において $f'(x) = \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} > 0$ より単調増加である。したがって、上の等式から $|\alpha| = |\beta|$ が導かれる。 これを $\alpha(1-|\beta|^2) = \beta(1-|\alpha|^2)$ に代入すると、$\alpha = \beta$ となる。 しかし、これは $A, B$ が異なる定点であることに矛盾する。

ゆえに、左辺の $c$ の係数は $0$ ではなく、$c$ はただ1つの値に定まる。 この $c$ の値は動点 $P(p)$ には依存せず、定数 $\alpha, \beta, \gamma$ のみで表される定点である。

解説

平面幾何や座標幾何でも扱えるが、円と直線の交点を追う問題では、定円を単位円とする複素数平面を使うと計算を整理しやすい。 単位円周上の点 $z$ に対して $\bar{z} = \frac{1}{z}$ となる性質を用い、実数条件から交点の複素数を求めていく。最後は恒等式として係数を比較し、定点が一意に定まることを確認する流れになる。

答え

動点 $P$ の位置によらず、直線 $RS$ は $A, B$ の位置によって一意に決まる定点を通る。