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京都大学 2001年文系第3問解説

方針・初手

式の形を見て、$x^3 - x$ の形に似ていることから因数分解を試みます。 $n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1) = n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1)$ と変形できることが第一歩です。これは $N = n^3$ とおいたときの $N(N-1)(N+1)$、つまり「連続する3つの整数の積」の形をしています。あとは、整数 $n$ を 3 で割った余りで分類することで、3つの因数のうち少なくとも1つが 9 の倍数になることを示します。合同式を用いるとより簡潔に記述できます。

解法1

$n^9 - n^3$ を因数分解する。

$$ n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1) = n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1) $$

すべての整数 $n$ は、整数 $k$ を用いて $n = 3k, 3k+1, 3k-1$ のいずれかで表される。それぞれの場合について調べる。

(i)

$n = 3k$ のとき

$n^3 = (3k)^3 = 27k^3 = 9(3k^3)$

$3k^3$ は整数であるから、$n^3$ は 9 の倍数である。よって、積 $n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1)$ も 9 の倍数である。

(ii)

$n = 3k+1$ のとき

$n^3 - 1 = (3k+1)^3 - 1 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 - 1 = 9(3k^3 + 3k^2 + k)$

$3k^3 + 3k^2 + k$ は整数であるから、$n^3 - 1$ は 9 の倍数である。よって、積 $n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1)$ も 9 の倍数である。

(iii)

$n = 3k-1$ のとき

$n^3 + 1 = (3k-1)^3 + 1 = 27k^3 - 27k^2 + 9k - 1 + 1 = 9(3k^3 - 3k^2 + k)$

$3k^3 - 3k^2 + k$ は整数であるから、$n^3 + 1$ は 9 の倍数である。よって、積 $n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1)$ も 9 の倍数である。

以上（i）, （ii）, （iii）のいずれの場合も $n^9 - n^3$ は 9 の倍数となる。したがって、任意の整数 $n$ に対し、$n^9 - n^3$ は 9 で割り切れる。（証明終）

解法2

合同式を用いて証明する。法を 9 とする。すべての整数 $n$ は、法 3 において $n \equiv 0, 1, 2 \pmod 3$ のいずれかに分類され、$n^3$ の値（法 9）を計算すると、

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき、$n^3 \equiv 0 \pmod 9$
$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき、$n^3 \equiv 1 \pmod 9$
$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき、$n^3 \equiv 8 \equiv -1 \pmod 9$

いずれの場合も、$n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod 9$ のいずれかが成り立つ。

$n^9 - n^3 = n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1)$ であるから、

$n^3 \equiv 0 \pmod 9$ のとき、因数 $n^3$ が 9 の倍数となるため、全体の積も $0 \pmod 9$。
$n^3 \equiv 1 \pmod 9$ のとき、因数 $n^3 - 1 \equiv 0 \pmod 9$ となるため、全体の積も $0 \pmod 9$。
$n^3 \equiv -1 \pmod 9$ のとき、因数 $n^3 + 1 \equiv 0 \pmod 9$ となるため、全体の積も $0 \pmod 9$。

したがって、任意の整数 $n$ に対し、$n^9 - n^3 \equiv 0 \pmod 9$ が成り立ち、9 で割り切れる。（証明終）

解説

「式の値が特定の整数の倍数であることを示す」という整数問題の基本形です。多項式の形をしている場合は、まず「積の形（因数分解）」に直すことが鉄則です。因数分解によって現れる因数の中に、必ず目的の数の倍数が含まれることを場合分けで示していきます。解法1では、$n^3, n^3-1, n^3+1$ のうちどれが 9 の倍数になるかが $n$ を 3 で割った余りで決まることを見抜けるかがポイントです。解法2のように合同式を使うと、記述量を減らしつつ機械的かつ網羅的に証明を行うことができます。