京都大学 2018年 理系 第2問 解説

方針・初手

整数問題において、式が素数となる条件を求める際は、具体的な小さな整数を代入して実験し、規則性（特定の数の倍数になるなど）を見つけるのが定石です。

いくつか代入してみると、常に3の倍数になりそうなことが予想できます。式を工夫して変形するか、合同式を用いてそれが常に3の倍数であることを証明し、「3の倍数である素数は3のみである」という性質を利用して方程式に帰着させます。

解法1

$f(n) = n^3 - 7n + 9$ とおく。$f(n)$ を次のように変形する。

$$ f(n) = n^3 - n - 6n + 9 = n(n^2-1) - 3(2n-3) = (n-1)n(n+1) - 3(2n-3) $$

ここで、$(n-1)n(n+1)$ は連続する3つの整数の積であるから、必ず3の倍数（さらに言えば6の倍数であるが、ここでは3の倍数であれば十分）である。

また、$3(2n - 3)$ も $2n-3$ が整数であるから3の倍数である。

したがって、任意の整数 $n$ に対して、それらの差である $f(n)$ は常に3の倍数となる。

$f(n)$ が素数であるためには、3の倍数である素数は3のみであるから、

$$ n^3 - 7n + 9 = 3 \implies n^3 - 7n + 6 = 0 $$

とならなければならない。

これを解くと、因数定理を用いる。左辺の多項式に $n=1$ を代入すると $1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 0$ となるため、$n-1$ を因数にもつ。

$$ n^3 - 7n + 6 = (n-1)(n^2+n-6) = (n-1)(n+3)(n-2) = 0 $$

よって、$n = 1,\ 2,\ -3$ である。

これらのとき、確かに $n^3 - 7n + 9 = 3$（素数）となるため、条件を満たす。

解法2

合同式を用いて $n^3 - 7n + 9$ が常に3の倍数であることを示す。法を3とする。

任意の整数 $n$ は、3を法として $n \equiv 0,\ 1,\ 2 \pmod{3}$ のいずれかと合同である。$n \equiv 2 \pmod{3}$ は $n \equiv -1 \pmod{3}$ と考えると計算が容易になる。

(i) $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき

$$ n^3 - 7n + 9 \equiv 0^3 - 7 \cdot 0 + 9 \equiv 0 - 0 + 0 \equiv 0 \pmod{3} $$

(ii) $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき

$$ n^3 - 7n + 9 \equiv 1^3 - 7 \cdot 1 + 9 \equiv 1 - 1 + 0 \equiv 0 \pmod{3} $$

(iii) $n \equiv -1 \pmod{3}$ のとき

$$ n^3 - 7n + 9 \equiv (-1)^3 - 7 \cdot (-1) + 9 \equiv -1 + 1 + 0 \equiv 0 \pmod{3} $$

(i)〜(iii) より、すべての整数 $n$ において $n^3 - 7n + 9$ は3の倍数である。

$n^3 - 7n + 9$ が素数となるためには、3の倍数である素数は3のみであるから、

$$ n^3 - 7n + 9 = 3 \implies n^3 - 7n + 6 = 0 $$

でなければならない。

$$ n^3 - 7n + 6 = (n-1)(n+3)(n-2) = 0 $$

$n$ は整数であるから、$n = 1,\ 2,\ -3$ となる。

解説

「素数になるものを求めよ」という問題の典型的なパターンです。まずは $n=1, 2, 3, \dots$ と代入して実験を行いましょう。

これらを観察することで、「すべて3の倍数になっている」ことに気づくことが最大の鍵です。

「ある多項式が常に $k$ の倍数になる」ことを示すには、解法1のように連続する整数の積（$k!$ の倍数になる）を作り出す式変形か、解法2のように $k$ を法とする合同式で剰余系をすべて調べる方法が有効です。

倍数であることが示せれば、「素数になるのは、その式が『3』になるときだけ」と絞り込むことができ、単なる3次方程式を解く問題に帰着します。

答え

$$ n = -3,\ 1,\ 2 $$