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東京工業大学 2023年理系第2問解説

方針・初手

$x^3-x = (x-1)x(x+1)$ と変形し、連続する3つの整数の積の形を作る。$y$ についても同様である。この変形により、与式は $X^2 Y = 86400$ の形になる。ここから、$Y$ が取りうる値の最小値を利用して $X$ の範囲を絞り込み、候補を調べ上げる方針である。

解法1

与えられた方程式の左辺を変形すると、

$$ \{(x-1)x(x+1)\}^2(y-1)y(y+1) = 86400 $$

となる。ここで、$X = (x-1)x(x+1)$、$Y = (y-1)y(y+1)$ とおくと、与式は

$$ X^2 Y = 86400 $$

と表せる。 $x, y$ は整数であるから、$X, Y$ も整数である。右辺が $86400 > 0$ であり、$X=0$ とすると $0 = 86400$ となり不適であるため、$X \neq 0$ すなわち $X^2 > 0$ である。したがって、$Y > 0$ でなければならない。

$Y$ は連続する3つの整数の積であり、$Y > 0$ となるのは $y \ge 2$ のときである。 $y \ge 2$ の範囲において $Y = (y-1)y(y+1)$ は単調に増加し、その最小値は $y = 2$ のときの $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ である。ゆえに、$Y \ge 6$ が成り立つ。

これを用いて、$X^2$ のとりうる範囲を絞り込む。

$$ X^2 = \frac{86400}{Y} \le \frac{86400}{6} = 14400 $$

$$ X^2 \le 14400 $$

$$ |X| \le 120 $$

次に、$|X| = |x-1||x||x+1|$ を満たす整数 $x$ の範囲を考える。 $|x| \ge 6$ とすると、$(x-1), x, (x+1)$ の絶対値はそれぞれ最小でも $5, 6, 7$ となるため、

$$ |X| \ge 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210 > 120 $$

となり、$|X| \le 120$ を満たさない。したがって、$|x| \le 5$ である。また、$x = 0, \pm 1$ のときは $X = 0$ となり不適であるから、$|x|$ は $2, 3, 4, 5$ のいずれかである。

以下、それぞれの $|x|$ について場合分けをして調べる。

(i)

$|x| = 2$ のとき $X = (2-1) \cdot 2 \cdot (2+1) = 6$ （$x = -2$ のときは $X = -6$）より、$X^2 = 36$ である。このとき、

$$ Y = \frac{86400}{36} = 2400 $$

$y \ge 2$ で $Y$ は単調増加であり、 $y = 13$ のとき $Y = 12 \cdot 13 \cdot 14 = 2184$ $y = 14$ のとき $Y = 13 \cdot 14 \cdot 15 = 2730$ となるため、$Y = 2400$ を満たす整数 $y$ は存在しない。

(ii)

$|x| = 3$ のとき $X^2 = (\pm 24)^2 = 576$ である。このとき、

$$ Y = \frac{86400}{576} = 150 $$

$y = 5$ のとき $Y = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ $y = 6$ のとき $Y = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$ よって、$Y = 150$ を満たす整数 $y$ は存在しない。

(iii)

$|x| = 4$ のとき $X^2 = (\pm 60)^2 = 3600$ である。このとき、

$$ Y = \frac{86400}{3600} = 24 $$

$Y = (y-1)y(y+1) = 24$ となるのは、$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ より、$y = 3$ のときである。よって、$x = \pm 4, y = 3$ は解となる。

(iv)

$|x| = 5$ のとき $X^2 = (\pm 120)^2 = 14400$ である。このとき、

$$ Y = \frac{86400}{14400} = 6 $$

$Y = (y-1)y(y+1) = 6$ となるのは、$1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ より、$y = 2$ のときである。よって、$x = \pm 5, y = 2$ は解となる。

以上（i）～（iv）より、求める整数の組は $(4, 3), (-4, 3), (5, 2), (-5, 2)$ である。

解説

不定方程式の基本的なアプローチである「因数分解による積の形への変形」と「不等式を用いた範囲の絞り込み」を組み合わせた問題である。多項式 $x^3-x$ を $(x-1)x(x+1)$ という連続する3整数の積に見立てることが第一歩となる。本問で特に強力なのは、$X^2 > 0$ から $Y > 0$ を導き、$Y$ が連続3整数の積であることから最小値 $Y \ge 6$ を得る部分である。これにより $X^2$ の上限が確定し、調べるべき $x$ の候補をわずか4通りにまで絞り込むことができる。

素因数分解を用いて $86400 = 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ とし、「右辺が $7$ 以上の素因数を含まないため、$X$ も $7$ 以上の素因数を含まない」という性質から $x$ の候補を絞る方法もあるが、本解法のように絶対値の大きさで評価する方がシンプルに記述でき、計算量も抑えられる。