京都大学 2000年 理系 第4問 解説

方針・初手

• 二項定理を用いて $(a+bi)^p$ を展開し、虚部を取り出します。
• $(a+bi)^p$ が実数である、すなわち「虚部が $0$ である」と仮定して背理法を用います。
• $p=2$ の場合と $p$ が奇素数の場合に分けて議論します。奇素数の場合は、素数の性質と二項係数の関係（${}_{p}\mathrm{C}_{k}$ が $p$ の倍数になること）を利用して矛盾を導きます。

解法1

$(a+bi)^p$ が実数であると仮定し、矛盾を導く。

二項定理により、

$$ (a+bi)^p = \sum_{k=0}^p {}_{p}\mathrm{C}_{k} a^{p-k} (bi)^k $$

と展開できる。この式の虚部を考える。

(i) $p=2$ のとき

$(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$ 虚部は $2ab$ である。 $a, b$ は正の整数であるから、$2ab > 0$ であり、虚部は $0$ にならない。 よって、$(a+bi)^2$ は実数ではない。

(ii) $p$ が奇素数のとき

$(a+bi)^p$ の虚部を $I$ とすると、

$$ I = \sum_{k=1, k\text{は奇数}}^p {}_{p}\mathrm{C}_{k} a^{p-k} b^k i^{k-1} $$

$k$ は奇数であるから、$k = 2m+1 \ (m = 0, 1, \dots, \frac{p-1}{2})$ とおける。このとき $i^{k-1} = i^{2m} = (-1)^m$ であるから、

$$ I = {}_{p}\mathrm{C}_{1} a^{p-1} b - {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} b^3 + \dots + (-1)^{\frac{p-1}{2}} {}_{p}\mathrm{C}_{p} b^p $$

となる。$(a+bi)^p$ が実数であると仮定したので、$I = 0$ である。

$$ p a^{p-1} b - {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} b^3 + \dots + (-1)^{\frac{p-1}{2}} b^p = 0 $$

$b$ は正の整数であるから $b \neq 0$。両辺を $b$ で割ると、

$$ p a^{p-1} - {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} b^2 + \dots + (-1)^{\frac{p-1}{2}} b^{p-1} = 0 $$

$pa^{p-1}$ を残して移項し、$b^2$ でくくると、

$$ p a^{p-1} = b^2 \left\{ {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} - {}_{p}\mathrm{C}_{5} a^{p-5} b^2 + \dots - (-1)^{\frac{p-1}{2}} b^{p-3} \right\} \quad \cdots (*) $$

ここで、波括弧 $\{ \}$ の中は整数である。 仮定より $a$ と $b$ は互いに素であるから、$a^{p-1}$ と $b^2$ も互いに素である。 等式 $(*)$ より $b^2$ は $p a^{p-1}$ の約数となるが、$b^2$ と $a^{p-1}$ は互いに素であるため、$b^2$ は $p$ の約数でなければならない。 $p$ は素数であるから、正の約数は $1$ と $p$ のみである。 $b^2 = p$ とすると、$b$ は整数とならないため不適（$p$ は素数であり平方数ではないため）。 よって $b^2 = 1$ であり、$b$ は正の整数だから $b = 1$ と定まる。

$b=1$ を $I=0$ の両辺を $b$ で割った式に代入すると、

$$ p a^{p-1} - {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} + \dots + (-1)^{\frac{p-1}{2}} {}_{p}\mathrm{C}_{p} = 0 $$

${}_{p}\mathrm{C}_{p}=1$ であることに注意して、最後の項だけを左辺に残して他を右辺に移項すると、

$$ (-1)^{\frac{p-1}{2}} = -p a^{p-1} + {}_{p}\mathrm{C}_{3} a^{p-3} - \dots $$

$$ (-1)^{\frac{p-1}{2}} = - \sum_{k=1, k\text{は奇数}}^{p-2} {}_{p}\mathrm{C}_{k} a^{p-k} (-1)^{\frac{k-1}{2}} $$

ここで、$p$ は素数であるから、$1 \le k \le p-1$ を満たす任意の整数 $k$ について、二項係数

$$ {}_{p}\mathrm{C}_{k} = \frac{p!}{k!(p-k)!} $$

は分子に素因数 $p$ を持ち、分母は $p$ を素因数に持たないため、$p$ の倍数である。 よって、右辺に現れる ${}_{p}\mathrm{C}_{k}$ はすべて $p$ の倍数であり、右辺全体は $p$ の倍数となる。 しかし、左辺の $(-1)^{\frac{p-1}{2}}$ は $1$ または $-1$ であり、素数 $p$ の倍数になることはない。 これは矛盾である。

(i), (ii) より、いずれの場合も矛盾が生じるため、仮定は誤りである。 したがって、$(a+bi)^p$ は実数ではない。（証明終）

解説

整数の性質と二項定理を組み合わせた証明問題です。 「実数である」という条件を「虚部が $0$ になる」と言い換え、背理法に持ち込むのが自然な流れです。 式変形においては、$p a^{p-1}$ を孤立させることで $a$ と $b$ が互いに素であるという条件をうまく使い、$b=1$ を導き出す部分が最大の山場です。 その後は、「素数 $p$ において ${}_{p}\mathrm{C}_{k}$ ($1 \le k \le p-1$) が $p$ の倍数になる」という、整数問題で頻出の性質を用いて矛盾を導きます。

答え

略（解法1の証明を参照）