京都大学 2003年 文系 第1問 解説

方針・初手

分数 $\dfrac{23}{111}$ を小数に直し、数列 $\{a_k\}$ の規則性を見つけます。$\dfrac{23 \times 9}{111 \times 9} = \dfrac{207}{999}$ とすることで、これが周期 $3$ の循環小数であることが分かります。$k$ を $3$ つずつのブロックに区切って等比数列の和として計算し、$n$ を $3$ で割った余りで場合分けして答えをまとめます。

解法1

$$ \frac{23}{111} = \frac{207}{999} = 0.207207207\cdots $$

小数第 $k$ 位の数 $a_k$ は $2, 0, 7, 2, 0, 7, \ldots$ と繰り返すため、$m$ を自然数として

$$ a_{3m-2} = 2, \quad a_{3m-1} = 0, \quad a_{3m} = 7 $$

求める和を $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{3^k}$ とおき、$n$ を $3$ で割った余りで場合分けする。

(i)

$n$ が $3$ の倍数のとき

$n = 3m$（$m$ は自然数）とおける。

$$\begin{aligned} S_{3m} &= \sum_{j=1}^m \left( \frac{2}{3^{3j-2}} + \frac{0}{3^{3j-1}} + \frac{7}{3^{3j}} \right) \\ &= \sum_{j=1}^m \frac{25}{27^j} \\ &= \frac{25}{27} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{27}\right)^m}{1 - \frac{1}{27}} \\ &= \frac{25}{26}\left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{3m} \right\} \end{aligned}$$

$3m = n$ より

$$ S_n = \frac{25}{26} - \frac{25}{26 \cdot 3^n} $$

(ii)

$n$ が $3$ で割って $1$ 余る数のとき

$n = 3m-2$（$m$ は自然数）とおける。（i） の結果を用いると

$$\begin{aligned} S_{3m-2} &= \frac{25}{26}\left\{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{3m-3}\right\} + \frac{2}{3^{3m-2}} \\ &= \frac{25}{26} - \frac{75}{26 \cdot 3^{3m-2}} + \frac{52}{26 \cdot 3^{3m-2}} \\ &= \frac{25}{26} - \frac{23}{26 \cdot 3^{3m-2}} \end{aligned}$$

$m=1$（$n=1$）のときも $S_1 = \dfrac{2}{3}$ と一致することが確認できる。$3m-2 = n$ より

$$ S_n = \frac{25}{26} - \frac{23}{26 \cdot 3^n} $$

(iii)

$n$ が $3$ で割って $2$ 余る数のとき

$n = 3m-1$（$m$ は自然数）とおける。$a_{3m-1} = 0$ であるから

$$\begin{aligned} S_{3m-1} &= S_{3m-2} + \frac{0}{3^{3m-1}} \\ &= \frac{25}{26} - \frac{23}{26 \cdot 3^{3m-2}} \\ &= \frac{25}{26} - \frac{69}{26 \cdot 3^{3m-1}} \end{aligned}$$

$3m-1 = n$ より

$$ S_n = \frac{25}{26} - \frac{69}{26 \cdot 3^n} $$

解説

有理数を小数展開したときの各桁の数字を数列とみなす、群数列・等比数列の典型的な問題です。$\dfrac{23}{111}$ の分母分子に $9$ を掛けて $\dfrac{207}{999}$ とすることで、瞬時に周期 $3$ の循環小数であると見抜くことができます。$n$ が $3$ の倍数のときの和を基準として、端数が出る場合（余り $1, 2$）はそこから差分を調整する形で立式すると計算ミスを防ぎやすくなります。

答え

• $n$ が $3$ の倍数のとき：$\displaystyle\dfrac{25}{26} - \dfrac{25}{26 \cdot 3^n}$

• $n$ が $3$ で割って $1$ 余る数のとき：$\displaystyle\dfrac{25}{26} - \dfrac{23}{26 \cdot 3^n}$

• $n$ が $3$ で割って $2$ 余る数のとき：$\displaystyle\dfrac{25}{26} - \dfrac{69}{26 \cdot 3^n}$