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京都大学 2002年文系第1問解説

方針・初手

和 $S_n$ と一般項 $a_n$ が混在した条件式は、$a_n = S_n - S_{n-1} \ (n \geqq 2)$ を用いて $S_n$ を消去し、$a_n$ だけの漸化式を導くのが定石です。得られた漸化式を解いて一般項を求めますが、途中で文字式で割る際の「$0$ 割り」に注意し、適切に場合分けを行う必要があります。

解法1

与えられた条件式を次のように番号付ける。

$$ (n - 1)^2 a_n = S_n \quad (n \geqq 1) \quad \cdots (1) $$

(1)の $n$ を $n-1$ に置き換えると、$n \geqq 2$ において次が成り立つ。

$$ (n - 2)^2 a_{n-1} = S_{n-1} \quad \cdots (2) $$

$n \geqq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、(1)と(2)を代入して

$$ a_n = (n - 1)^2 a_n - (n - 2)^2 a_{n-1} $$

これを $a_n$ について整理する。

$$\begin{aligned} (n - 1)^2 a_n - a_n &= (n - 2)^2 a_{n-1} \\ \{(n - 1)^2 - 1\} a_n &= (n - 2)^2 a_{n-1} \\ (n - 1 - 1)(n - 1 + 1) a_n &= (n - 2)^2 a_{n-1} \\ n(n - 2) a_n &= (n - 2)^2 a_{n-1} \quad \cdots (3) \end{aligned}$$

(3)において、両辺を $n-2$ で割って $a_n$ を求めたいが、$n=2$ のときは $n-2=0$ となるため場合分けが必要である。

(i)

$n \geqq 3$ のとき

$n - 2 \neq 0$ であるから、(3)の両辺を $n - 2$ で割って

$$ n a_n = (n - 2) a_{n-1} $$

$$ a_n = \frac{n - 2}{n} a_{n-1} $$

この漸化式を繰り返し用いると、$n \geqq 3$ において

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{n-2}{n} a_{n-1} \\ &= \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-3}{n-1} a_{n-2} \\ &\ \ \vdots \\ &= \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-3}{n-1} \cdot \frac{n-4}{n-2} \cdots \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} a_2 \end{aligned}$$

分母と分子の項が次々と打ち消し合い、分子には $2 \cdot 1$ が、分母には $n(n-1)$ が残る。

$$ a_n = \frac{2 \cdot 1}{n(n-1)} a_2 = \frac{2}{n(n-1)} a_2 $$

条件より $a_2 = 1$ であるから、

$$ a_n = \frac{2}{n(n-1)} \quad \cdots (4) $$

(ii)

$n = 2$ のとき

(4)の式に $n=2$ を代入すると、

$$ \frac{2}{2(2-1)} = 1 $$

これは与えられた条件 $a_2 = 1$ と一致するため、(4)の式は $n=2$ のときも成り立つ。

なお、問題文より $a_1 = 0$ であるが、(4)の式は $n=1$ のときに分母が $0$ となり定義されない。したがって、一般項は $n=1$ の場合と $n \geqq 2$ の場合で分けて記述する必要がある。

解説

「$S_n$ から $a_n$ を作る」数列の典型問題です。$a_n = S_n - S_{n-1}$ は $n \geqq 2$ でしか成り立たないため、初めから $n \geqq 2$ として議論を進める必要があります。また、漸化式を解く過程で $n(n-2)a_n = (n-2)^2 a_{n-1}$ という式が現れますが、ここで安易に両辺を $n-2$ で割ってしまうと、論理の飛躍（$n=2$ のときの $0$ 割り）となります。必ず $n \geqq 3$ という条件を明記した上で割り算を実行し、後で $n=2$ の場合について統合できるかを確認するプロセスを踏みましょう。