京都大学 2003年 文系 第2問 解説

方針・初手

(1) は、放物線と直線の式から $y$ を消去した2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件（判別式 $D>0$）を求めます。(2) は、交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおき、解と係数の関係を用いて $L$ と $S$ をそれぞれ表します。$\dfrac{1}{6}$ 公式を使うと $S$ が簡潔に表せ、$\dfrac{S}{L^3}$ を計算すると $\beta - \alpha$ の部分が約分されて $k$ だけの関数に帰着します。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2 + x$ と直線 $l: y = kx + k - 1$ の式から $y$ を消去して整理すると

$$ x^2 - (k-1)x - (k-1) = 0 \quad \cdots \text{①} $$

$C$ と $l$ が相異なる2点で交わるための条件は、①が異なる2つの実数解をもつことである。判別式を $D$ とすると

$$ D = (k-1)^2 + 4(k-1) = (k-1)(k+3) $$

$D > 0$ より $(k-1)(k+3) > 0$ であるから

$$ k < -3, \quad 1 < k $$

(2)

方程式①の2つの実数解を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係より

$$ \alpha + \beta = k-1, \quad \alpha\beta = -(k-1) $$

$$ (\beta - \alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (k-1)(k+3) $$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha = \sqrt{(k-1)(k+3)}$ である。

線分 $PQ$ の長さ $L$ は

$$\begin{aligned} L &= \sqrt{(\beta-\alpha)^2 + k^2(\beta-\alpha)^2} \\ &= \sqrt{1+k^2}\cdot(\beta-\alpha) \end{aligned}$$

面積 $S$ は、$\alpha \leqq x \leqq \beta$ で直線 $l$ が放物線 $C$ より上側にあるから

$$\begin{aligned} S &= \int_{\alpha}^{\beta}\{(kx+k-1)-(x^2+x)\}\,dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx \\ &= \frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \end{aligned}$$

したがって

$$ \frac{S}{L^3} = \frac{\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}{\left(\sqrt{1+k^2}\cdot(\beta-\alpha)\right)^3} = \frac{1}{6(1+k^2)^{\frac{3}{2}}} $$

(1) より $k^2 > 1$、すなわち $1+k^2 > 2$ であるから

$$ (1+k^2)^{\frac{3}{2}} > 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} $$

逆数をとって $0 < \dfrac{1}{(1+k^2)^{3/2}} < \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$、各辺を $\dfrac{1}{6}$ 倍して

$$ 0 < \frac{S}{L^3} < \frac{1}{12\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{24} $$

解説

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}-(x-\alpha)(x-\beta)\,dx = \dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ という公式と、$L = \sqrt{1+k^2}(\beta-\alpha)$ という事実を使いこなせるかを問う典型問題です。これらを適切に用いれば $(\beta-\alpha)^3$ が完全に約分され、$k$ だけのシンプルな関数に帰着します。最後の値域を求める際、$k < -3, 1 < k$ を統合して $k^2 > 1$ と評価する点にも注意が必要です。

答え

(1)

$k < -3, \quad 1 < k$

(2)

$\displaystyle 0 < \frac{S}{L^3} < \frac{\sqrt{2}}{24}$