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京都大学 2007年文系第5問（甲）解説

方針・初手

命題pは、「$\sqrt{k}$（$k$は整数）が有理数であるとき、$k$ はある整数の2乗（平方数）になる」という性質を利用して、連続する2つの整数がともに平方数になるかどうかを考えます。

命題qは、「無理数であることの証明」の定石である背理法を用います。$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ が有理数であると仮定し、その逆数を考えることで $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ も有理数になることを導き、命題pの結論と矛盾させる方針をとります。

解法1

【命題pについて】

$\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ が共に有理数となるような $n \geqq 1$ が存在すると仮定する。

一般に、整数 $k$ について $\sqrt{k}$ が有理数であるとき、$k$ は平方数である。したがって、$n$ と $n+1$ はどちらも平方数であるから、ある正の整数 $x, y$ を用いて

$$ n = x^2, \quad n+1 = y^2 $$

と表せる。これらから

$$ y^2 - x^2 = 1 \implies (y-x)(y+x) = 1 $$

$x, y$ は正の整数であるから $y + x \geqq 2$ であり、積が $1$ になる整数の組で $y+x \geqq 2$ を満たすものは存在しない。

（$(y-x, y+x) = (1, 1)$ とすると $y = 1, x = 0$ となり、$x$ が正の整数であることに矛盾）

よって仮定は誤りであり、命題pは正しくない。

【命題qについて】

ある $n \geqq 1$ に対して $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ が有理数であると仮定し、それを $r$ とおく。

$n \geqq 1$ より $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$ であるから $r > 0$。

$r$ の逆数を有理化すると、

$$ \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} + \sqrt{n} $$

$r$ は $0$ でない有理数であるから $\dfrac{1}{r}$ も有理数であり、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ は有理数である。

これと $r = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ の和と差をとると、

$$ 2\sqrt{n+1} = \frac{1}{r} + r \quad \text{（有理数）}, \qquad 2\sqrt{n} = \frac{1}{r} - r \quad \text{（有理数）} $$

よって $\sqrt{n+1}$ と $\sqrt{n}$ はともに有理数となる。

しかし、これは命題pの考察で示した「$\sqrt{n}$ と $\sqrt{n+1}$ が共に有理数となる $n \geqq 1$ は存在しない」という結論に矛盾する。

ゆえに仮定は誤りであり、すべての $n \geqq 1$ に対して $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ は無理数である。

したがって、命題qは正しい。

解説

無理数の証明の基本である「背理法」と、「$\sqrt{\text{整数}}$ が有理数ならばその整数は平方数である」という性質を用いる典型的な論証問題です。

命題qにおいて、「差（$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$）が有理数」という仮定から、有理化の操作を利用して「和（$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$）も有理数」であることを導き、そこから個々の項が有理数であると結論づける論法は、入試数学で非常によく使われる強力なテクニックです。

前の設問（命題p）の結果が次の設問（命題q）の背理法の矛盾を導くための布石になっている、構成の美しい問題です。