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京都大学 2012年文系第4問解説

方針・初手

(p) 円周角の定理と正多角形の外接円の中心角の性質を利用する。ある内角が $60^\circ$ のとき、対応する弧の中心角が $120^\circ$ または $240^\circ$ になることを立式し、$n$ が $3$ の倍数であることを示す。

(q) 「2辺とその間の角」ではなく「2辺と1つの角」が等しい場合は、合同条件を満たさず反例が存在する。余弦定理から残りの1辺の長さを求める2次方程式を立てたとき、異なる2つの正の解をもつような辺の長さと角度の組み合わせ（反例）を設定すればよい。

解法1

(p) 正しい（証明）

正 $n$ 角形の頂点は、その外接円の円周を $n$ 等分する点である。したがって、隣り合う2つの頂点と外接円の中心がなす中心角は $\dfrac{360^\circ}{n}$ である。

選んだ3点を $A, B, C$ とし、$\angle BAC = 60^\circ$ であるとする。円周角の定理より、弧 $BC$ に対する中心角は $2 \times 60^\circ = 120^\circ$（点 $A$ が優弧上にある場合）、または $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$（点 $A$ が劣弧上にある場合）である。

弧 $BC$ は、正 $n$ 角形の円周を $n$ 等分した弧がいくつか集まったものである。その弧の数を $k$（$k$ は $1 \leqq k < n$ を満たす自然数）とすると、中心角は $k \times \dfrac{360^\circ}{n}$ と表せる。したがって、

$$ k \times \frac{360^\circ}{n} = 120^\circ \quad \text{または} \quad k \times \frac{360^\circ}{n} = 240^\circ $$

が成り立つ。これらを整理すると、

$$ \frac{3k}{n} = 1 \implies n = 3k $$

$$ \frac{3k}{n} = 2 \implies 2n = 3k $$

となる。前者の場合、$k$ は自然数であるから $n$ は $3$ の倍数である。後者の場合、$n$ は $\dfrac{3k}{2}$ であり、$n$ が自然数となるためには $k$ が偶数でなければならない。$k = 2m$（$m$ は自然数）とおくと $n = 3m$ となるため、やはり $n$ は $3$ の倍数である。

以上より、命題 (p) は正しい。（証明終）

(q) 正しくない（反例）

$\triangle ABC$ を、$AB = \sqrt{3},\ BC = 1,\ AC = 2$ の三角形とする。

このとき、$AB^2 + BC^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 = AC^2$ が成り立つため、三平方の定理の逆より $\triangle ABC$ は $\angle B = 90^\circ$ の直角三角形である。また、辺の比が $1:\sqrt{3}:2$ であるから、$\angle A = 30^\circ$ である。

一方、$\triangle A'B'C'$ を、$A'B' = \sqrt{3},\ B'C' = 1,\ A'C' = 1$ の二等辺三角形とする。余弦定理を用いて $\angle A'$ の大きさを求めると、

$$ \cos A' = \frac{(A'B')^2 + (A'C')^2 - (B'C')^2}{2 \cdot A'B' \cdot A'C'} = \frac{3 + 1 - 1}{2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$0^\circ < \angle A' < 180^\circ$ より、$\angle A' = 30^\circ$ である。

これら2つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle A'B'C'$ において、

$$ AB = A'B' = \sqrt{3}, \quad BC = B'C' = 1, \quad \angle A = \angle A' = 30^\circ $$

が成り立ち、命題の仮定を満たしている。しかし、$AC = 2$、$A'C' = 1$ であり $AC \neq A'C'$ であるため、これら2つの三角形は合同ではない。

よって、この一組の三角形が反例となるため、命題 (q) は正しくない。（説明終）

解説

(p) は図形的な性質を数式に翻訳する論証問題である。「ある内角が $60^\circ$」という条件を、外接円における「中心角が $120^\circ$（または $240^\circ$）」と言い換えることで、$n$ の倍数判定に持ち込むことができる。

(q) は、中学校で習う「三角形の合同条件」の本質を問う問題である。合同条件「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」において、なぜ「間の角」でなければならないのか、その理由を反例をもって示している。一般に、余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ において、$a, c, \angle A$ が与えられたとき、$b$（もう一辺の長さ）についての2次方程式が異なる2つの正の実数解をもつ場合があり、それが合同にならない反例の存在を意味している。解答で挙げた「$1:\sqrt{3}:2$ の直角三角形」と「$A'C' = 1$ の二等辺三角形」の組み合わせは、最も計算が簡単で分かりやすい美しい反例の1つである。