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京都大学 2000年文系第4問解説

方針・初手

(1) 辺の長さ $a, b, c$ の大小関係を調べ、三角形の辺と角の大小関係が一致することを利用します。$a, b, c$ の差をとって符号を調べます。

(2) (1) の結果と三角形の内角の和が $180^\circ$ であることを用いて、どの角が $60^\circ$ になるかを特定します。その後、余弦定理を用いて $p, q$ に関する方程式を立て、因数分解により $p, q$ の関係を導きます。最後に条件 (ロ) の「$2^n$ である」という性質から $p, q$ の値を決定します。

解法1

(1)

$a = p+q$, $b = pq+p$, $c = pq+1$ について、それぞれの差を計算する。

$$ b - c = pq+p - (pq+1) = p - 1 $$

$p \geqq 2$ より $p - 1 \geqq 1 > 0$ であるから、$b > c$。

$$ c - a = pq+1 - (p+q) = p(q-1) - (q-1) = (p-1)(q-1) $$

$p \geqq 2, q \geqq 2$ より $p - 1 \geqq 1, q - 1 \geqq 1$ であるから、$(p-1)(q-1) \geqq 1 > 0$。よって、$c > a$。

以上から、$a < c < b$ が成り立つ。三角形において、辺の大小関係と対角の大小関係は一致するため、

$$ \angle A < \angle C < \angle B $$

となる。

(2)

(1) の結果より $\angle A < \angle C < \angle B$ であり、三角形の内角の和は $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ である。ここで、条件 (ハ) よりいずれかの角が $60^\circ$ である。もし $\angle B = 60^\circ$ とすると、$\angle A < \angle C < 60^\circ$ となり、内角の和が $180^\circ$ 未満になるため矛盾する。もし $\angle A = 60^\circ$ とすると、$60^\circ < \angle C < \angle B$ となり、内角の和が $180^\circ$ より大きくなるため矛盾する。したがって、

$$ \angle C = 60^\circ $$

である。

$\triangle ABC$ において余弦定理を用いると、

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos 60^\circ = a^2 + b^2 - ab $$

が成り立つ。これに $a = p+q$, $b = p(q+1)$, $c = pq+1$ を代入する。

$$ (pq+1)^2 = (p+q)^2 + p^2(q+1)^2 - p(p+q)(q+1) $$

展開して整理する。

$$ p^2q^2 + 2pq + 1 = p^2 + 2pq + q^2 + p^2(q^2 + 2q + 1) - p(pq + p + q^2 + q) $$

$$ p^2q^2 + 2pq + 1 = p^2 + 2pq + q^2 + p^2q^2 + 2p^2q + p^2 - p^2q - p^2 - pq^2 - pq $$

両辺から $p^2q^2 + 2pq$ を引き、右辺を整理して $0$ に等置する。

$$ 1 = p^2 + q^2 + p^2q - pq^2 - pq $$

$$ p^2q - pq^2 + p^2 - pq + q^2 - 1 = 0 $$

これを因数分解する。

$$ pq(p - q) + p(p - q) + (q - 1)(q + 1) = 0 $$

$$ (p - q)(pq + p) + (q - 1)(q + 1) = 0 $$

$$ p(p - q)(q + 1) + (q - 1)(q + 1) = 0 $$

$$ (q + 1) \{ p(p - q) + q - 1 \} = 0 $$

$q \geqq 2$ より $q + 1 \neq 0$ であるから、

$$ p^2 - pq + q - 1 = 0 $$

$$ p^2 - 1 - q(p - 1) = 0 $$

$$ (p - 1)(p + 1) - q(p - 1) = 0 $$

$$ (p - 1)(p - q + 1) = 0 $$

$p \geqq 2$ より $p - 1 \neq 0$ であるから、

$$ p - q + 1 = 0 \iff q = p + 1 $$

これを $a, b, c$ に代入する。

$$ a = p + (p + 1) = 2p + 1 $$

$$ b = p(p + 1) + p = p^2 + 2p = p(p + 2) $$

$$ c = p(p + 1) + 1 = p^2 + p + 1 $$

条件 (ロ) より $a, b, c$ のいずれかは $2^n$ である。 $a = 2p + 1$ は奇数であり、$p \geqq 2$ より $a \geqq 5$ であるため $2^n$ にはなれない。 $c = p(p + 1) + 1$ において、$p(p + 1)$ は連続する整数の積で偶数であるから $c$ は奇数であり、$p \geqq 2$ より $c \geqq 7$ であるため $2^n$ にはなれない。したがって、$b = 2^n$ である。

$$ b = p(p + 2) = 2^n $$

$p$ と $p + 2$ は差が $2$ の正の偶数であるから、$k, m$ を $k < m$ なる自然数として $p = 2^k$, $p + 2 = 2^m$ とおける。

$$ 2^m - 2^k = 2 $$

$$ 2^k(2^{m-k} - 1) = 2 $$

$2^{m-k} - 1$ は奇数であるから、$2^{m-k} - 1 = 1$ とならなければならない。よって $2^{m-k} = 2$ より $m - k = 1$ となり、このとき $2^k = 2$ より $k = 1$ である。ゆえに、$p = 2^1 = 2$ と求まる。このとき $q = p + 1 = 3$ となり、$p \geqq 2, q \geqq 2$ を満たす。

これらを代入して $a, b, c$ を求める。

$$ a = 2 \times 2 + 1 = 5 $$

$$ b = 2 \times (2 + 2) = 8 $$

$$ c = 2^2 + 2 + 1 = 7 $$

解説

(1) の結果を (2) につなげる構成になっています。辺の大小から角の大小を導き、さらに図形的な制約（内角の和）から $\angle C = 60^\circ$ を確定させる論理展開は頻出です。後半の因数分解は項数が多いため工夫が必要ですが、ある文字（今回は $q$）について整理したり、差の形を作り出したりすることで道が開けます。最後の整数問題の処理は、「積が2の累乗ならばそれぞれの因数も2の累乗である」という性質を利用する定石です。