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京都大学 2012年理系第5問解説

方針・初手

(p) は円周角の定理と正多角形の中心角の性質を用いる。内角が $60°$ であることから、対応する弧の中心角が $120°$（または $240°$）になることに着目して、$n$ が $3$ の倍数であることを示す。

(q) は一見正しそうに見えるが、偽の命題である。反例を挙げるためには、「$C$ が $A, B$ に近く、$D$ が $A, B$ から遠いにもかかわらず、$\angle C < \angle D$ となる」ような配置を座標を用いて構成する。余弦定理で $\cos C$ と $\cos D$ を比較して角度の大小を厳密に示すとよい。

解法1

(p) 正しい（証明）

正 $n$ 角形の頂点は、その外接円の円周を $n$ 等分する点である。したがって、隣り合う2つの頂点と外接円の中心がなす中心角は $\dfrac{360°}{n}$ である。

選んだ3点を $A, B, C$ とし、$\angle BAC = 60°$ であるとする。円周角の定理より、弧 $BC$ に対する中心角は $2 \times 60° = 120°$（または優弧の場合は $360° - 120° = 240°$）である。

弧 $BC$ は、正 $n$ 角形の円周を $n$ 等分した弧が $k$ 個（$1 \leqq k < n$ の自然数）集まったものであるため、その中心角は $k \times \dfrac{360°}{n}$ と表せる。したがって、

$$ k \times \frac{360°}{n} = 120° \quad \text{または} \quad k \times \frac{360°}{n} = 240° $$

これを整理すると、

$$ 3k = n \quad \text{または} \quad 3k = 2n $$

前者の場合、$n = 3k$ より $n$ は $3$ の倍数である。後者の場合、$3$ と $2$ は互いに素であるため $n$ は $3$ の倍数でなければならない。

いずれの場合も $n$ は $3$ の倍数であることが示された。（証明終）

(q) 正しくない（反例）

座標平面上に4点 $A(-1, 0),\ B(1, 0),\ C(2, 1),\ D(2, 2)$ をとる。

$$ AC^2 = 3^2 + 1^2 = 10, \quad AD^2 = 3^2 + 2^2 = 13 \implies AC < AD $$

$$ BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2, \quad BD^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \implies BC < BD $$

よって仮定 $AC < AD$ かつ $BC < BD$ は満たされている。

次に $AB^2 = 4$ であるから、余弦定理より

$$ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{10 + 2 - 4}{2\sqrt{10}\sqrt{2}} = \frac{8}{2\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

$$ \cos D = \frac{AD^2 + BD^2 - AB^2}{2 \cdot AD \cdot BD} = \frac{13 + 5 - 4}{2\sqrt{13}\sqrt{5}} = \frac{14}{2\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}} $$

いずれも正であるから、2乗を比較する。

$$ \cos^2 C = \frac{4}{5} = \frac{52}{65}, \qquad \cos^2 D = \frac{49}{65} $$

$\cos^2 C > \cos^2 D$ かつ $\cos C,\ \cos D > 0$ より $\cos C > \cos D$。

$0° < C,\ D < 180°$ において $\cos\theta$ は単調減少であるから $\angle C < \angle D$ となり、結論 $\angle C > \angle D$ を満たさない。

したがって、命題 (q) は正しくない。（説明終）

解説

(p) は図形的な性質を数式に翻訳する基本問題である。円に内接する多角形と角度に関する問題では「中心角」を介在させると見通しが良くなる。

(q) は直感に反する反例を探す難問である。「点 $D$ が点 $C$ よりも $A, B$ から遠い」という条件から「$D$ の方が角度が小さくなる（細長くなる）」と錯覚しやすい。反例を探す際は、あてずっぽうに数字を入れるのではなく、極端な位置関係をイメージして簡単な整数の座標を構成する力が問われる。