トップ› 京都大学› 1963年› 理系第5問

京都大学 1963年理系第5問解説

方針・初手

相似な三角形が次々と作られることから、隣り合う三角形の相似比を求める。線分の長さは公比が相似比となる等比数列、三角形の面積は公比が相似比の2乗となる等比数列をなすことを利用して、無限等比級数の和を計算する。

解法1

$\triangle OP_0P_1$ において、三角形の内角の和から

$$ \angle OP_1P_0 = \pi - (\theta + \alpha) $$

となる。

三角形の成立条件より、角度について

$$ \theta > 0, \quad \alpha > 0, \quad \theta + \alpha < \pi $$

が成り立つ。

$\triangle OP_0P_1$ において正弦定理を用いると

$$ \frac{OP_1}{\sin\alpha} = \frac{OP_0}{\sin(\pi - (\theta + \alpha))} = \frac{P_0P_1}{\sin\theta} $$

$\sin(\pi - (\theta + \alpha)) = \sin(\theta + \alpha)$ であり、$OP_0 = a$ であるから、

$$ OP_1 = a \frac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)} $$

$$ P_0P_1 = a \frac{\sin\theta}{\sin(\theta+\alpha)} $$

となる。

与えられた条件から、$\triangle OP_nP_{n+1}$ はすべて $\triangle OP_0P_1$ に相似である。その相似比を $r$ とすると

$$ r = \frac{OP_1}{OP_0} = \frac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)} $$

であり、角度の条件から $r > 0$ である。

(イ)

$P_n$ が定点 $O$ に限りなく近づくための必要十分条件は、$\lim_{n \to \infty} OP_n = 0$ となることである。

数列 $\{OP_n\}$ は初項 $a$、公比 $r$ の等比数列であるから

$$ OP_n = a r^n $$

と表せる。

$a > 0$ であるため、$\lim_{n \to \infty} a r^n = 0$ となる必要十分条件は $0 < r < 1$ である。すなわち

$$ \frac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)} < 1 $$

$\sin(\theta+\alpha) > 0$ より

$$ \sin\alpha < \sin(\theta+\alpha) $$

ここで、$0 < \alpha < \pi$ および $0 < \theta+\alpha < \pi$ であるから、正弦関数のグラフの対称性を考慮すると、この不等式が成り立つ条件は

$$ \theta + \alpha < \pi - \alpha $$

よって

$$ \theta + 2\alpha < \pi $$

これが求める必要十分条件である。

(ロ)

$\triangle OP_nP_{n+1}$ は $\triangle OP_0P_1$ と相似であり、その相似比は $r^n$ である。面積比は相似比の2乗に等しいため、

$$ \triangle OP_nP_{n+1} = (r^n)^2 \triangle OP_0P_1 = r^{2n} \triangle OP_0P_1 $$

となる。

(イ)の条件が成り立つとき、$0 < r < 1$ より $0 < r^2 < 1$ であるから、無限等比級数 $S$ は収束する。

$$ S = \sum_{n=0}^{\infty} \triangle OP_nP_{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} r^{2n} \triangle OP_0P_1 $$

$$ S = \frac{1}{1 - r^2} \triangle OP_0P_1 $$

したがって、$S$ は $\triangle OP_0P_1$ の $\frac{1}{1 - r^2}$ 倍となる。これを $\theta$ と $\alpha$ で表すと

$$ \frac{1}{1 - \left( \frac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)} \right)^2} = \frac{\sin^2(\theta+\alpha)}{\sin^2(\theta+\alpha) - \sin^2\alpha} $$

分母を和と積の公式を用いて変形すると、さらに簡潔に表現できる。

$$ \sin^2(\theta+\alpha) - \sin^2\alpha = \{\sin(\theta+\alpha) + \sin\alpha\} \{\sin(\theta+\alpha) - \sin\alpha\} = 2\sin\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right)\cos\frac{\theta}{2} \cdot 2\cos\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right)\sin\frac{\theta}{2} = \sin(\theta+2\alpha)\sin\theta $$

したがって、$\frac{\sin^2(\theta+\alpha)}{\sin\theta\sin(\theta+2\alpha)}$ 倍としてもよい。

(ハ)

線分の長さ $P_nP_{n+1}$ は初項 $P_0P_1$、公比 $r$ の等比数列をなす。

$$ P_nP_{n+1} = r^n P_0P_1 $$

(イ)の条件から $0 < r < 1$ であるため、無限等比級数 $L$ は収束し

$$ L = \sum_{n=0}^{\infty} r^n P_0P_1 = \frac{P_0P_1}{1 - r} $$

となる。

先ほど求めた $P_0P_1$ と $r$ を代入すると

$$ L = \frac{a \frac{\sin\theta}{\sin(\theta+\alpha)}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\sin(\theta+\alpha)}} = \frac{a \sin\theta}{\sin(\theta+\alpha) - \sin\alpha} $$

これが $L$ の値である。

次に、$\theta$ を限りなく $0$ に近づけたときの極限を求める。分母を和と積の公式を用いて積の形に変形すると

$$ \sin(\theta+\alpha) - \sin\alpha = 2 \cos\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right) \sin\frac{\theta}{2} $$

となる。また、分子も2倍角の公式で $\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$ と変形できるので、

$$ L = \frac{a \cdot 2 \sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2}}{2 \cos\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right) \sin\frac{\theta}{2}} = \frac{a \cos\frac{\theta}{2}}{\cos\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right)} $$

ここで $\theta \to +0$ とすると

$$ \lim_{\theta \to +0} \frac{a \cos\frac{\theta}{2}}{\cos\left(\alpha + \frac{\theta}{2}\right)} = \frac{a \cos 0}{\cos\alpha} = \frac{a}{\cos\alpha} $$

となる。

解説

相似な図形が無限に連なる設定は、図形と無限等比級数を絡めた頻出テーマである。最初の三角形において正弦定理を用いて辺の長さの比（相似比）を正確に求めることがすべての基本となる。面積の和を考える際は、相似比の2乗が公比になることに注意する。最後の極限の計算では、そのまま $\theta \to 0$ とすると分母分子が $0$ に近づく不定形になるため、和と積の公式を用いて約分できる形を作り出す処理が求められる。